Номер 221, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \cos 3\alpha \cos 2\alpha $;

2) $ \sin 5\alpha \sin 3\alpha $;

3) $ \sin 15^\circ \cos 40^\circ $;

4) $ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $;

5) $ \sin(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) $;

6) $ \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $.

Для решения данной задачи используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (или разность):

• $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $
• $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $
• $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $

1) $ \cos 3\alpha \cos 2\alpha $

Используем формулу для произведения косинусов: $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $.
Подставим $ x = 3\alpha $ и $ y = 2\alpha $:

$ \cos 3\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - 2\alpha) + \cos(3\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 5\alpha) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 5\alpha) $.

2) $ \sin 5\alpha \sin 3\alpha $

Используем формулу для произведения синусов: $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.
Подставим $ x = 5\alpha $ и $ y = 3\alpha $:

$ \sin 5\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(5\alpha - 3\alpha) - \cos(5\alpha + 3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha) $.

3) $ \sin 15^\circ \cos 40^\circ $

Используем формулу для произведения синуса на косинус: $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.
Подставим $ x = 15^\circ $ и $ y = 40^\circ $:

$ \sin 15^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\sin(15^\circ + 40^\circ) + \sin(15^\circ - 40^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 55^\circ + \sin(-25^\circ)) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-z) = -\sin z $), получаем:

$ \frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin 55^\circ - \sin 25^\circ) $.

4) $ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} $

Используем формулу $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.
Подставим $ x = \frac{\pi}{12} $ и $ y = \frac{7\pi}{12} $:

$ \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{7\pi}{12}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{8\pi}{12}\right) + \sin\left(-\frac{6\pi}{12}\right)\right) $.

Упростим дроби в аргументах: $ \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} $ и $ -\frac{6\pi}{12} = -\frac{\pi}{2} $.

$ \frac{1}{2}\left(\sin \frac{2\pi}{3} + \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin \frac{2\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{2}\right) $.

Вычислим значения синусов: $ \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin \frac{\pi}{2} = 1 $.

$ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\left(\sin \frac{2\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{2}\right) $ (или $ \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} $).

5) $ \sin(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) $

Используем формулу $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.
Подставим $ x = \alpha - \beta $ и $ y = \alpha + \beta $:

$ \sin(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(\sin((\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)) + \sin((\alpha - \beta) - (\alpha + \beta))) $.

Упростим выражения в скобках: $ (\alpha - \beta) + (\alpha + \beta) = 2\alpha $ и $ (\alpha - \beta) - (\alpha + \beta) = -2\beta $.

$ \frac{1}{2}(\sin(2\alpha) + \sin(-2\beta)) = \frac{1}{2}(\sin 2\alpha - \sin 2\beta) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin 2\alpha - \sin 2\beta) $.

6) $ \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) $

Используем формулу $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $.
Подставим $ x = \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{3} + \alpha $:

$ \sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\alpha - \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\right)\right) $.

Упростим выражения в скобках: $ \alpha + \frac{\pi}{3} + \alpha = 2\alpha + \frac{\pi}{3} $ и $ \alpha - \frac{\pi}{3} - \alpha = -\frac{\pi}{3} $.

$ \frac{1}{2}\left(\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\frac{\pi}{3}\right) $.
Ответ: $ \frac{1}{2}\left(\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\frac{\pi}{3}\right) $.