Номер 214, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

214. Докажите, что $ \cos 3\gamma \cos 6\gamma \cos 12\gamma = \frac{\sin 24\gamma}{8 \sin 3\gamma} $.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как $L$.

$L = \cos(3\gamma)\cos(6\gamma)\cos(12\gamma)$

Умножим и разделим это выражение на $\sin(3\gamma)$, при условии, что $\sin(3\gamma) \neq 0$, так как в противном случае правая часть тождества не определена.

$L = \frac{\sin(3\gamma)\cos(3\gamma)\cos(6\gamma)\cos(12\gamma)}{\sin(3\gamma)}$

Мы будем последовательно использовать формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, которая может быть записана в виде $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к произведению $\sin(3\gamma)\cos(3\gamma)$ в числителе:

$\sin(3\gamma)\cos(3\gamma) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\gamma) = \frac{1}{2}\sin(6\gamma)$

Подставим результат обратно в выражение для $L$:

$L = \frac{\frac{1}{2}\sin(6\gamma)\cos(6\gamma)\cos(12\gamma)}{\sin(3\gamma)} = \frac{\sin(6\gamma)\cos(6\gamma)\cos(12\gamma)}{2\sin(3\gamma)}$

Теперь применим ту же формулу к новому произведению в числителе, $\sin(6\gamma)\cos(6\gamma)$:

$\sin(6\gamma)\cos(6\gamma) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 6\gamma) = \frac{1}{2}\sin(12\gamma)$

Снова подставим это в выражение для $L$:

$L = \frac{\frac{1}{2}\sin(12\gamma)\cos(12\gamma)}{2\sin(3\gamma)} = \frac{\sin(12\gamma)\cos(12\gamma)}{4\sin(3\gamma)}$

И в последний раз применим формулу к произведению $\sin(12\gamma)\cos(12\gamma)$:

$\sin(12\gamma)\cos(12\gamma) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 12\gamma) = \frac{1}{2}\sin(24\gamma)$

Выполнив последнюю подстановку, мы получаем:

$L = \frac{\frac{1}{2}\sin(24\gamma)}{4\sin(3\gamma)} = \frac{\sin(24\gamma)}{8\sin(3\gamma)}$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна его правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано. Левая часть выражения была приведена к правой путем последовательного трехкратного применения формулы синуса двойного угла.