Номер 212, страница 89 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 5\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 5\alpha}{\cos \alpha};$

2) $\frac{\sin^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha}{\sin^2 2\alpha + 4\cos^2 \alpha - 4};$

3) $\frac{2\sin^2 4\alpha - 1}{2\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)};$

4) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \frac{\alpha}{2}}$

1)

Приведем выражение к общему знаменателю $ \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \frac{\sin 5\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 5\alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 5\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $
В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:
$ \sin 5\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \sin \alpha = \sin(5\alpha - \alpha) = \sin 4\alpha $
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, откуда $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha $:
$ \frac{\sin 4\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha} = \frac{2 \sin 4\alpha}{\sin 2\alpha} $
Теперь применим формулу синуса двойного угла к числителю $ \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha $:
$ \frac{2 (2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha)}{\sin 2\alpha} = 4 \cos 2\alpha $

Ответ: $ 4 \cos 2\alpha $.

2)

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Числитель:
$ \sin^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 - 4\cos^2 \alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\cos^2 \alpha $
Вынесем за скобки $ 4\cos^2\alpha $:
$ 4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) $
Так как $ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $, числитель равен:
$ 4\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha) = -4\cos^4\alpha $
Знаменатель:
$ \sin^2 2\alpha + 4\cos^2\alpha - 4 = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 + 4\cos^2\alpha - 4 = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 4(\cos^2\alpha - 1) $
Так как $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $, знаменатель равен:
$ 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) = 4\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha) = -4\sin^4\alpha $
Теперь разделим упрощенный числитель на знаменатель:
$ \frac{-4\cos^4\alpha}{-4\sin^4\alpha} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha} = (\cot\alpha)^4 = \cot^4\alpha $

Ответ: $ \cot^4\alpha $.

3)

Упростим числитель, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $, из которой следует $ 2\sin^2 x - 1 = -\cos 2x $:
$ 2\sin^2 4\alpha - 1 = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha) $
Упростим знаменатель. Используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x $:
$ \cos^2(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \cos^2(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + 4\alpha)) = \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $
Подставим это в знаменатель:
$ 2\cot(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)\sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $
Заменим котангенс отношением косинуса к синусу:
$ 2 \frac{\cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)} \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ \sin(2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} + 8\alpha) $
Используем формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x $:
$ \sin(\frac{\pi}{2} + 8\alpha) = \cos(8\alpha) $
Разделим упрощенный числитель на знаменатель:
$ \frac{-\cos(8\alpha)}{\cos(8\alpha)} = -1 $

Ответ: $ -1 $.

4)

Будем упрощать выражение последовательно. Для упрощения дробей вида $ \frac{\sin x}{1 + \cos x} $ используем формулы двойного (или половинного) угла:
$ \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{1 + (2\cos^2\frac{x}{2} - 1)} = \frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} = \tan\frac{x}{2} $
Упростим первый множитель:
$ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \tan\frac{2\alpha}{2} = \tan\alpha $
Подставим его в исходное выражение:
$ \tan\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} $
Заменим $ \tan\alpha $ на $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и сократим:
$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} $
Теперь упростим получившийся первый множитель $ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} $:
$ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \tan\frac{\alpha}{2} $
Выражение примет вид:
$ \tan\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} $
Заменим $ \tan\frac{\alpha}{2} $ на $ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} $ и сократим:
$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} $
И снова применим ту же формулу для упрощения:
$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha/2}{2} = \tan\frac{\alpha}{4} $

Ответ: $ \tan\frac{\alpha}{4} $.