Страница 89 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Дано: $cos\\alpha = 0,6$, $270^{\circ} < \\alpha < 360^{\circ}$. Найдите:

Поскольку угол $ \alpha $ находится в интервале $ 270^\circ < \alpha < 360^\circ $, он расположен в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус отрицателен.

Сначала найдем $ \sin\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8 $

Так как угол $ \alpha $ находится в IV четверти, значение $ \sin\alpha $ отрицательно. Следовательно, $ \sin\alpha = -0,8 $.

1) sin2α

Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Подставляем известные значения $ \sin\alpha = -0,8 $ и $ \cos\alpha = 0,6 $:

$ \sin2\alpha = 2 \cdot (-0,8) \cdot 0,6 = -1,6 \cdot 0,6 = -0,96 $

Ответ: -0,96

2) cos2α

Используем формулу косинуса двойного угла, например, $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Подставляем известное значение $ \cos\alpha = 0,6 $:

$ \cos2\alpha = 2 \cdot (0,6)^2 - 1 = 2 \cdot 0,36 - 1 = 0,72 - 1 = -0,28 $

Для проверки можно использовать другую формулу: $ \cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.

$ \cos2\alpha = (0,6)^2 - (-0,8)^2 = 0,36 - 0,64 = -0,28 $

Ответ: -0,28

3) tg4α

Для нахождения $ \tan4\alpha $ сначала найдем $ \tan2\alpha $, используя уже найденные значения $ \sin2\alpha = -0,96 $ и $ \cos2\alpha = -0,28 $.

$ \tan2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{-0,96}{-0,28} = \frac{96}{28} = \frac{24}{7} $

Теперь используем формулу тангенса двойного угла для $ \tan4\alpha = \tan(2 \cdot 2\alpha) $:

$ \tan4\alpha = \frac{2\tan2\alpha}{1 - \tan^2(2\alpha)} $

Подставляем значение $ \tan2\alpha = \frac{24}{7} $ в формулу:

$ \tan4\alpha = \frac{2 \cdot \frac{24}{7}}{1 - (\frac{24}{7})^2} = \frac{\frac{48}{7}}{1 - \frac{576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{\frac{49 - 576}{49}} = \frac{\frac{48}{7}}{-\frac{527}{49}} $

Выполняем деление дробей:

$ \tan4\alpha = \frac{48}{7} \cdot (-\frac{49}{527}) = - \frac{48 \cdot 7 \cdot 7}{7 \cdot 527} = - \frac{48 \cdot 7}{527} = -\frac{336}{527} $

Ответ: $-\frac{336}{527}$

210. Дано: $\operatorname{tg} \alpha = 3$, $180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}$. Найдите:

1) $\sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha$;

3) $\operatorname{tg} 2\alpha$.

1) sin2α;

Для нахождения $\sin 2\alpha$, зная $\text{tg} \alpha$, воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс:
$\sin 2\alpha = \frac{2 \text{tg} \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha}$
Подставим в эту формулу данное значение $\text{tg} \alpha = 3$:
$\sin 2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 + 3^2} = \frac{6}{1 + 9} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

2) cos2α;

Для нахождения $\cos 2\alpha$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла через тангенс:
$\cos 2\alpha = \frac{1 - \text{tg}^2 \alpha}{1 + \text{tg}^2 \alpha}$
Подставим в эту формулу данное значение $\text{tg} \alpha = 3$:
$\cos 2\alpha = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$.

Ответ: $-\frac{4}{5}$.

3) tg2α.

Для нахождения $\text{tg} 2\alpha$ можно использовать формулу тангенса двойного угла или найти его как отношение $\sin 2\alpha$ к $\cos 2\alpha$, используя результаты предыдущих пунктов.
Способ 1: Через формулу двойного угла для тангенса.
$\text{tg} 2\alpha = \frac{2 \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}$
Подставляем $\text{tg} \alpha = 3$:
$\text{tg} 2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.
Способ 2: Через отношение синуса и косинуса.
$\text{tg} 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

211. Упростите выражение $\sqrt{0,5 - 0,5\cos4\alpha}$, если $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Для упрощения выражения $\sqrt{0,5 - 0,5\cos4\alpha}$ начнем с преобразования подкоренного выражения. Вынесем общий множитель 0,5 за скобки:
$\sqrt{0,5(1 - \cos4\alpha)}$
Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени (или формулой синуса половинного угла): $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
В нашем случае аргумент у косинуса равен $4\alpha$, поэтому можно положить $2x = 4\alpha$, откуда $x = 2\alpha$. Применяя формулу, получаем:
$1 - \cos4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$
Подставим это выражение обратно под корень:
$\sqrt{0,5 \cdot 2\sin^2(2\alpha)} = \sqrt{\sin^2(2\alpha)}$
По определению квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$, следовательно:
$\sqrt{\sin^2(2\alpha)} = |\sin(2\alpha)|$
Теперь необходимо определить знак выражения $\sin(2\alpha)$, чтобы раскрыть модуль. Для этого используем данное в условии неравенство:
$\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$
Чтобы найти, в каком интервале находится угол $2\alpha$, умножим все части этого неравенства на 2:
$2 \cdot \frac{\pi}{4} < 2\alpha < 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi$
Этот интервал соответствует второй четверти тригонометрической окружности. Синус во второй четверти положителен, то есть $\sin(2\alpha) > 0$.
Поскольку выражение под знаком модуля положительно, модуль раскрывается со знаком плюс:
$|\sin(2\alpha)| = \sin(2\alpha)$
Ответ: $\sin(2\alpha)$.

212. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 5\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 5\alpha}{\cos \alpha};$

2) $\frac{\sin^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha}{\sin^2 2\alpha + 4\cos^2 \alpha - 4};$

3) $\frac{2\sin^2 4\alpha - 1}{2\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)};$

4) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{1 + \cos \frac{\alpha}{2}}$

1)

Приведем выражение к общему знаменателю $ \sin \alpha \cos \alpha $:
$ \frac{\sin 5\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 5\alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 5\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $
В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:
$ \sin 5\alpha \cos \alpha - \cos 5\alpha \sin \alpha = \sin(5\alpha - \alpha) = \sin 4\alpha $
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, откуда $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha $:
$ \frac{\sin 4\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha} = \frac{2 \sin 4\alpha}{\sin 2\alpha} $
Теперь применим формулу синуса двойного угла к числителю $ \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha $:
$ \frac{2 (2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha)}{\sin 2\alpha} = 4 \cos 2\alpha $

Ответ: $ 4 \cos 2\alpha $.

2)

Упростим числитель и знаменатель дроби, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $ и основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
Числитель:
$ \sin^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 - 4\cos^2 \alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\cos^2 \alpha $
Вынесем за скобки $ 4\cos^2\alpha $:
$ 4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) $
Так как $ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $, числитель равен:
$ 4\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha) = -4\cos^4\alpha $
Знаменатель:
$ \sin^2 2\alpha + 4\cos^2\alpha - 4 = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 + 4\cos^2\alpha - 4 = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 4(\cos^2\alpha - 1) $
Так как $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $, знаменатель равен:
$ 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) = 4\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha) = -4\sin^4\alpha $
Теперь разделим упрощенный числитель на знаменатель:
$ \frac{-4\cos^4\alpha}{-4\sin^4\alpha} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha} = (\cot\alpha)^4 = \cot^4\alpha $

Ответ: $ \cot^4\alpha $.

3)

Упростим числитель, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $, из которой следует $ 2\sin^2 x - 1 = -\cos 2x $:
$ 2\sin^2 4\alpha - 1 = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha) $
Упростим знаменатель. Используем формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x $:
$ \cos^2(\frac{\pi}{4} - 4\alpha) = \cos^2(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + 4\alpha)) = \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $
Подставим это в знаменатель:
$ 2\cot(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)\sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $
Заменим котангенс отношением косинуса к синусу:
$ 2 \frac{\cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)} \sin^2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)\cos(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ \sin(2(\frac{\pi}{4} + 4\alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} + 8\alpha) $
Используем формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x $:
$ \sin(\frac{\pi}{2} + 8\alpha) = \cos(8\alpha) $
Разделим упрощенный числитель на знаменатель:
$ \frac{-\cos(8\alpha)}{\cos(8\alpha)} = -1 $

Ответ: $ -1 $.

4)

Будем упрощать выражение последовательно. Для упрощения дробей вида $ \frac{\sin x}{1 + \cos x} $ используем формулы двойного (или половинного) угла:
$ \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{1 + (2\cos^2\frac{x}{2} - 1)} = \frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} = \tan\frac{x}{2} $
Упростим первый множитель:
$ \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \tan\frac{2\alpha}{2} = \tan\alpha $
Подставим его в исходное выражение:
$ \tan\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} $
Заменим $ \tan\alpha $ на $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и сократим:
$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} $
Теперь упростим получившийся первый множитель $ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} $:
$ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \tan\frac{\alpha}{2} $
Выражение примет вид:
$ \tan\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} $
Заменим $ \tan\frac{\alpha}{2} $ на $ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} $ и сократим:
$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} $
И снова применим ту же формулу для упрощения:
$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\cos\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha/2}{2} = \tan\frac{\alpha}{4} $

Ответ: $ \tan\frac{\alpha}{4} $.

213. Упростите выражение $ \sqrt{\frac{\cos 2\alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}} $, если $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4} $.

Для того чтобы упростить данное выражение, преобразуем сначала знаменатель подкоренного выражения, используя основные тригонометрические формулы.

1. Упрощение знаменателя $\cot^2{\alpha} - \tan^2{\alpha}$

Представим котангенс и тангенс через синус и косинус:

$\cot^2{\alpha} - \tan^2{\alpha} = \frac{\cos^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}} - \frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}$:

$\frac{\cos^2{\alpha} \cdot \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} \cdot \sin^2{\alpha}}{\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}} = \frac{\cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha}}{\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}}$

В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha})(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha})}{\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$.

Числитель становится равен $\cos{2\alpha} \cdot 1 = \cos{2\alpha}$.

Для знаменателя $\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}$ используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$, из которой следует, что $\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \frac{\sin{2\alpha}}{2}$. Тогда:

$\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha} = (\sin{\alpha}\cos{\alpha})^2 = \left(\frac{\sin{2\alpha}}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2{2\alpha}}{4}$

Таким образом, весь знаменатель исходного выражения равен:

$\cot^2{\alpha} - \tan^2{\alpha} = \frac{\cos{2\alpha}}{\frac{\sin^2{2\alpha}}{4}} = \frac{4\cos{2\alpha}}{\sin^2{2\alpha}}$

2. Подстановка и упрощение всего выражения

Подставим полученное выражение в исходное:

$\sqrt{\frac{\cos{2\alpha}}{\cot^2{\alpha} - \tan^2{\alpha}}} = \sqrt{\frac{\cos{2\alpha}}{\frac{4\cos{2\alpha}}{\sin^2{2\alpha}}}}$

Сократим $\cos{2\alpha}$ в числителе и знаменателе дроби под корнем:

$\sqrt{\frac{1}{\frac{4}{\sin^2{2\alpha}}}} = \sqrt{\frac{\sin^2{2\alpha}}{4}}$

Извлечем квадратный корень:

$\frac{\sqrt{\sin^2{2\alpha}}}{\sqrt{4}} = \frac{|\sin{2\alpha}|}{2}$

3. Определение знака $\sin{2\alpha}$

Нам дано условие $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Чтобы определить, в какой четверти находится угол $2\alpha$, умножим все части неравенства на 2:

$2 \cdot \frac{\pi}{2} < 2\alpha < 2 \cdot \frac{3\pi}{4}$

$\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

Угол $2\alpha$ находится в третьей координатной четверти, где значение синуса отрицательно, то есть $\sin{2\alpha} < 0$.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то $|x| = -x$. Следовательно:

$|\sin{2\alpha}| = -\sin{2\alpha}$

4. Окончательный результат

Подставим раскрытый модуль в наше упрощенное выражение:

$\frac{|\sin{2\alpha}|}{2} = \frac{-\sin{2\alpha}}{2} = -\frac{1}{2}\sin{2\alpha}$

Ответ: $-\frac{1}{2}\sin{2\alpha}$.

214. Докажите, что $ \cos 3\gamma \cos 6\gamma \cos 12\gamma = \frac{\sin 24\gamma}{8 \sin 3\gamma} $.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как $L$.

$L = \cos(3\gamma)\cos(6\gamma)\cos(12\gamma)$

Умножим и разделим это выражение на $\sin(3\gamma)$, при условии, что $\sin(3\gamma) \neq 0$, так как в противном случае правая часть тождества не определена.

$L = \frac{\sin(3\gamma)\cos(3\gamma)\cos(6\gamma)\cos(12\gamma)}{\sin(3\gamma)}$

Мы будем последовательно использовать формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, которая может быть записана в виде $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к произведению $\sin(3\gamma)\cos(3\gamma)$ в числителе:

$\sin(3\gamma)\cos(3\gamma) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\gamma) = \frac{1}{2}\sin(6\gamma)$

Подставим результат обратно в выражение для $L$:

$L = \frac{\frac{1}{2}\sin(6\gamma)\cos(6\gamma)\cos(12\gamma)}{\sin(3\gamma)} = \frac{\sin(6\gamma)\cos(6\gamma)\cos(12\gamma)}{2\sin(3\gamma)}$

Теперь применим ту же формулу к новому произведению в числителе, $\sin(6\gamma)\cos(6\gamma)$:

$\sin(6\gamma)\cos(6\gamma) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 6\gamma) = \frac{1}{2}\sin(12\gamma)$

Снова подставим это в выражение для $L$:

$L = \frac{\frac{1}{2}\sin(12\gamma)\cos(12\gamma)}{2\sin(3\gamma)} = \frac{\sin(12\gamma)\cos(12\gamma)}{4\sin(3\gamma)}$

И в последний раз применим формулу к произведению $\sin(12\gamma)\cos(12\gamma)$:

$\sin(12\gamma)\cos(12\gamma) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 12\gamma) = \frac{1}{2}\sin(24\gamma)$

Выполнив последнюю подстановку, мы получаем:

$L = \frac{\frac{1}{2}\sin(24\gamma)}{4\sin(3\gamma)} = \frac{\sin(24\gamma)}{8\sin(3\gamma)}$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна его правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано. Левая часть выражения была приведена к правой путем последовательного трехкратного применения формулы синуса двойного угла.

215. Преобразуйте в произведение:

1) $sin 20^\circ + sin 50^\circ$;

2) $sin 13\alpha - sin 7\alpha$;

3) $cos \frac{7\pi}{9} + cos \frac{5\pi}{9}$;

4) $cos 14\alpha - cos 6\alpha$;

5) $cos\left(\beta + \frac{\pi}{10}\right) + cos\left(\beta - \frac{\pi}{10}\right)$;

6) $sin\left(4\alpha - \frac{5\pi}{6}\right) - sin\left(4\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$.

1) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула $ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = 20° $ и $ y = 50° $:
$ \sin 20° + \sin 50° = 2 \sin\left(\frac{20°+50°}{2}\right) \cos\left(\frac{20°-50°}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{70°}{2}\right) \cos\left(\frac{-30°}{2}\right) = 2 \sin(35°) \cos(-15°) $.
Так как функция косинуса является четной, $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $, то $ \cos(-15°) = \cos(15°) $.
Следовательно, выражение равно $ 2 \sin(35°) \cos(15°) $.
Ответ: $ 2 \sin(35°) \cos(15°) $.

2) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула $ \sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = 13\alpha $ и $ y = 7\alpha $:
$ \sin 13\alpha - \sin 7\alpha = 2 \cos\left(\frac{13\alpha+7\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{13\alpha-7\alpha}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{20\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{6\alpha}{2}\right) = 2 \cos(10\alpha) \sin(3\alpha) $.
Ответ: $ 2 \cos(10\alpha) \sin(3\alpha) $.

3) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула $ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = \frac{7\pi}{9} $ и $ y = \frac{5\pi}{9} $:
$ \cos\frac{7\pi}{9} + \cos\frac{5\pi}{9} = 2 \cos\left(\frac{\frac{7\pi}{9}+\frac{5\pi}{9}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{7\pi}{9}-\frac{5\pi}{9}}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{12\pi}{9}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{9}}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) $.
Мы знаем, что $ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = - \frac{1}{2} $.
Подставим это значение в выражение:
$ 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) $.
Ответ: $ -\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) $.

4) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула $ \cos x - \cos y = -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = 14\alpha $ и $ y = 6\alpha $:
$ \cos 14\alpha - \cos 6\alpha = -2 \sin\left(\frac{14\alpha+6\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{14\alpha-6\alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{20\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{8\alpha}{2}\right) = -2 \sin(10\alpha) \sin(4\alpha) $.
Ответ: $ -2 \sin(10\alpha) \sin(4\alpha) $.

5) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула $ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим в формулу $ x = \beta + \frac{\pi}{10} $ и $ y = \beta - \frac{\pi}{10} $:
$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\beta + \frac{\pi}{10}) + (\beta - \frac{\pi}{10})}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta $.
$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\beta + \frac{\pi}{10}) - (\beta - \frac{\pi}{10})}{2} = \frac{\beta + \frac{\pi}{10} - \beta + \frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{10}}{2} = \frac{\pi}{10} $.
Следовательно, $ \cos(\beta + \frac{\pi}{10}) + \cos(\beta - \frac{\pi}{10}) = 2 \cos(\beta) \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) $.
Ответ: $ 2 \cos(\beta) \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) $.

6) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула $ \sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $.
Подставим $ x = 4\alpha - \frac{5\pi}{6} $ и $ y = 4\alpha - \frac{\pi}{6} $:
$ \frac{x+y}{2} = \frac{(4\alpha - \frac{5\pi}{6}) + (4\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{8\alpha - \frac{6\pi}{6}}{2} = \frac{8\alpha - \pi}{2} = 4\alpha - \frac{\pi}{2} $.
$ \frac{x-y}{2} = \frac{(4\alpha - \frac{5\pi}{6}) - (4\alpha - \frac{\pi}{6})}{2} = \frac{-\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{4\pi}{6}}{2} = \frac{-\frac{2\pi}{3}}{2} = -\frac{\pi}{3} $.
Подставляя полученные значения в формулу, получаем:
$ 2 \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) $.
Используя формулу приведения $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha) $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $, упростим выражение:
$ \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(4\alpha) $.
$ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Тогда итоговое выражение будет:
$ 2 \sin(4\alpha) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} \sin(4\alpha) $.
Ответ: $ -\sqrt{3} \sin(4\alpha) $.

216. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 40^{\circ} + \cos 70^{\circ}$;

2) $\cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{10}$;

3) $\sin 3\beta - \cos \beta$.

1) $\sin40° + \cos70°$
Для преобразования суммы в произведение необходимо привести оба слагаемых к одной тригонометрической функции. Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)$:
$\cos70° = \sin(90° - 70°) = \sin20°$.
Теперь исходное выражение принимает вид суммы синусов:
$\sin40° + \sin20°$.
Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\sin40° + \sin20° = 2\sin\frac{40°+20°}{2}\cos\frac{40°-20°}{2} = 2\sin\frac{60°}{2}\cos\frac{20°}{2} = 2\sin30°\cos10°$.
Поскольку $\sin30° = \frac{1}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos10° = \cos10°$.
Ответ: $\cos10°$.

2) $\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{10}$
Приведем функции к одному наименованию. Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\cos\frac{\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{3\pi}{8}$.
Выражение принимает вид разности синусов:
$\sin\frac{3\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{10}$.
Применим формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$\sin\frac{3\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{10} = 2\sin\frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{10}}{2}\cos\frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{10}}{2}$.
Вычислим аргументы синуса и косинуса отдельно:
$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{15\pi-4\pi}{40}}{2} = \frac{\frac{11\pi}{40}}{2} = \frac{11\pi}{80}$.
$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{10}}{2} = \frac{\frac{15\pi+4\pi}{40}}{2} = \frac{\frac{19\pi}{40}}{2} = \frac{19\pi}{80}$.
Подставив найденные значения, получаем:
$2\sin\frac{11\pi}{80}\cos\frac{19\pi}{80}$.
Ответ: $2\sin\frac{11\pi}{80}\cos\frac{19\pi}{80}$.

3) $\sin3\beta - \cos\beta$
Сначала приведем $\cos\beta$ к функции синуса с помощью формулы приведения $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:
$\cos\beta = \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.
Теперь выражение выглядит как разность синусов:
$\sin3\beta - \sin(\frac{\pi}{2} - \beta)$.
Используем формулу разности синусов $\sin\alpha - \sin\gamma = 2\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}\cos\frac{\alpha+\gamma}{2}$:
$\sin3\beta - \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = 2\sin\frac{3\beta - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2}\cos\frac{3\beta + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2}$.
Упростим аргументы синуса и косинуса:
$\frac{3\beta - (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = \frac{3\beta - \frac{\pi}{2} + \beta}{2} = \frac{4\beta - \frac{\pi}{2}}{2} = 2\beta - \frac{\pi}{4}$.
$\frac{3\beta + (\frac{\pi}{2} - \beta)}{2} = \frac{2\beta + \frac{\pi}{2}}{2} = \beta + \frac{\pi}{4}$.
В итоге получаем произведение:
$2\sin(2\beta - \frac{\pi}{4})\cos(\beta + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $2\sin(2\beta - \frac{\pi}{4})\cos(\beta + \frac{\pi}{4})$.