Страница 83 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. Какие из указанных точек принадлежат графику функции: 1) $y = \operatorname{tg} x$; 2) $y = \operatorname{ctg} x$:

1) $A \left( \frac{8\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$;

2) $B \left( -\frac{11\pi}{6}; \sqrt{3} \right)$;

3) $C (4\pi; 0)$;

4) $D \left( -\frac{7\pi}{4}; 1 \right)$;

5) $E \left( \frac{19\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить координаты точки в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

1) y = tg x

Проверим каждую из указанных точек:

1) $A\left(\frac{8\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Подставляем $x = \frac{8\pi}{3}$ в функцию: $y = \operatorname{tg}\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$.

Так как $-\sqrt{3} \ne -\frac{\sqrt{3}}{3}$, точка A не принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

2) $B\left(-\frac{11\pi}{6}; \sqrt{3}\right)$

Подставляем $x = -\frac{11\pi}{6}$ в функцию: $y = \operatorname{tg}\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как $\frac{\sqrt{3}}{3} \ne \sqrt{3}$, точка B не принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

3) $C(4\pi; 0)$

Подставляем $x = 4\pi$ в функцию: $y = \operatorname{tg}(4\pi) = \operatorname{tg}(0) = 0$.

Так как $0 = 0$, точка C принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

4) $D\left(-\frac{7\pi}{4}; 1\right)$

Подставляем $x = -\frac{7\pi}{4}$ в функцию: $y = \operatorname{tg}\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Так как $1 = 1$, точка D принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

5) $E\left(\frac{19\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Подставляем $x = \frac{19\pi}{6}$ в функцию: $y = \operatorname{tg}\left(\frac{19\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(3\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, точка E принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

Ответ: графику функции $y = \operatorname{tg} x$ принадлежат точки C, D, E.

2) y = ctg x

Проверим каждую из указанных точек:

1) $A\left(\frac{8\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Подставляем $x = \frac{8\pi}{3}$ в функцию: $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg}\left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как $-\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, точка A принадлежит графику функции $y = \operatorname{ctg} x$.

2) $B\left(-\frac{11\pi}{6}; \sqrt{3}\right)$

Подставляем $x = -\frac{11\pi}{6}$ в функцию: $y = \operatorname{ctg}\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} = \sqrt{3}$, точка B принадлежит графику функции $y = \operatorname{ctg} x$.

3) $C(4\pi; 0)$

Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x$ - все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k$ - целое число. Поскольку $x = 4\pi$ является точкой, где функция не определена ($k=4$), точка C не может принадлежать графику.

4) $D\left(-\frac{7\pi}{4}; 1\right)$

Подставляем $x = -\frac{7\pi}{4}$ в функцию: $y = \operatorname{ctg}\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Так как $1 = 1$, точка D принадлежит графику функции $y = \operatorname{ctg} x$.

5) $E\left(\frac{19\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Подставляем $x = \frac{19\pi}{6}$ в функцию: $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{19\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg}\left(3\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} \ne \frac{\sqrt{3}}{3}$, точка E не принадлежит графику функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Ответ: графику функции $y = \operatorname{ctg} x$ принадлежат точки A, B, D.

174. На промежутке $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$ укажите:

1) нули функции $y = ctg x$;

2) числа, которые не принадлежат области определения функции $y = ctg x$.

1) нули функции y = ctg x;

Нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Чтобы найти нули, необходимо решить уравнение $\operatorname{ctg} x = 0$.

Функция котангенса определяется как отношение $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Уравнение $\frac{\cos x}{\sin x} = 0$ равносильно системе:

$ \begin{cases} \cos x = 0, \\ \sin x \ne 0. \end{cases} $

Решением уравнения $\cos x = 0$ является серия корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\sin x$ равен $1$ или $-1$, то есть не равен нулю. Следовательно, нули функции $y = \operatorname{ctg} x$ задаются формулой $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те корни, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le \frac{5\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{3} \le \frac{1}{2} + k \le \frac{5}{3}$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:

$-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{3} - \frac{1}{2}$

$-\frac{2}{6} - \frac{3}{6} \le k \le \frac{10}{6} - \frac{3}{6}$

$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{7}{6}$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, этому условию удовлетворяют значения $k=0$ и $k=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $k=0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$. Это значение входит в промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$.
• При $k=1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$. Это значение также входит в промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$, так как $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, а $\frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}$.

2) числа, которые не принадлежат области определения функции y = ctg x.

Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ включает все действительные числа, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль, то есть $\sin x \ne 0$.

Таким образом, числа, которые не принадлежат области определения, находятся из уравнения $\sin x = 0$.

Решением этого уравнения является серия корней $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те значения $x$, которые принадлежат заданному промежутку $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$. Для этого решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{3} \le \pi n \le \frac{5\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{3} \le n \le \frac{5}{3}$

Поскольку $n$ должно быть целым числом, этому условию удовлетворяют значения $n=0$ и $n=1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

• При $n=0$: $x = \pi \cdot 0 = 0$. Это значение входит в промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$.
• При $n=1$: $x = \pi \cdot 1 = \pi$. Это значение также входит в промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}]$.

Ответ: $0; \pi$.

175. Сравните:

1) $\text{tg} \frac{19\pi}{10}$ и $\text{tg} \frac{23\pi}{12}$;

2) $\text{tg} (-94^\circ)$ и $\text{tg} (-92^\circ)$;

3) $\text{tg} 4$ и $\text{tg} 4,5$;

4) $\text{ctg} \left(-\frac{21\pi}{10}\right)$ и $\text{ctg} \left(-\frac{19\pi}{9}\right)$;

5) $\text{ctg} 286^\circ$ и $\text{ctg} 288^\circ$;

6) $\text{ctg} (-7)$ и $\text{ctg} (-6,5)$.

1) Сравним $\text{tg}\frac{19\pi}{10}$ и $\text{tg}\frac{23\pi}{12}$.

Для начала упростим аргументы, используя свойство периодичности тангенса ($ \text{tg}(x + \pi n) = \text{tg}(x) $, где $n$ – целое число).

Для первого значения:
$\text{tg}\frac{19\pi}{10} = \text{tg}(\frac{20\pi - \pi}{10}) = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{10}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{10})$.

Для второго значения:
$\text{tg}\frac{23\pi}{12} = \text{tg}(\frac{24\pi - \pi}{12}) = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{12}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{12})$.

Теперь необходимо сравнить $\text{tg}(-\frac{\pi}{10})$ и $\text{tg}(-\frac{\pi}{12})$. Оба угла, $-\frac{\pi}{10}$ и $-\frac{\pi}{12}$, находятся в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$.

Функция $y=\text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Сравним аргументы: так как $\frac{1}{10} > \frac{1}{12}$, то $-\frac{\pi}{10} < -\frac{\pi}{12}$.

Поскольку функция тангенса на этом интервале возрастает, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $\text{tg}(-\frac{\pi}{10}) < \text{tg}(-\frac{\pi}{12})$.

Следовательно, $\text{tg}\frac{19\pi}{10} < \text{tg}\frac{23\pi}{12}$.

Ответ: $\text{tg}\frac{19\pi}{10} < \text{tg}\frac{23\pi}{12}$.

2) Сравним $\text{tg}(-94^\circ)$ и $\text{tg}(-92^\circ)$.

Воспользуемся периодичностью тангенса (период $180^\circ$):
$\text{tg}(-94^\circ) = \text{tg}(-94^\circ + 180^\circ) = \text{tg}(86^\circ)$.
$\text{tg}(-92^\circ) = \text{tg}(-92^\circ + 180^\circ) = \text{tg}(88^\circ)$.

Теперь сравним $\text{tg}(86^\circ)$ и $\text{tg}(88^\circ)$. Оба угла, $86^\circ$ и $88^\circ$, находятся в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, где функция $y=\text{tg}(x)$ возрастает.

Так как $86^\circ < 88^\circ$, то из-за возрастания тангенса на этом интервале следует, что $\text{tg}(86^\circ) < \text{tg}(88^\circ)$.

Следовательно, $\text{tg}(-94^\circ) < \text{tg}(-92^\circ)$.

Ответ: $\text{tg}(-94^\circ) < \text{tg}(-92^\circ)$.

3) Сравним $\text{tg} 4$ и $\text{tg} 4,5$ (углы в радианах).

Определим, в каких четвертях лежат данные углы. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
$\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\pi \approx 3,14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

Оба угла, 4 и 4,5, принадлежат интервалу $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, так как $3,14 < 4 < 4,71$ и $3,14 < 4,5 < 4,71$. Этот интервал соответствует третьей координатной четверти.

Функция $y=\text{tg}(x)$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Так как $4 < 4,5$, и оба угла лежат в интервале возрастания тангенса, то $\text{tg}(4) < \text{tg}(4,5)$.

Ответ: $\text{tg} 4 < \text{tg} 4,5$.

4) Сравним $\text{ctg}(-\frac{21\pi}{10})$ и $\text{ctg}(-\frac{19\pi}{9})$.

Используем периодичность котангенса ($ \text{ctg}(x + \pi n) = \text{ctg}(x) $, где $n$ – целое число).
$\text{ctg}(-\frac{21\pi}{10}) = \text{ctg}(-\frac{21\pi}{10} + 2\pi) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{10})$.
$\text{ctg}(-\frac{19\pi}{9}) = \text{ctg}(-\frac{19\pi}{9} + 2\pi) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{9})$.

Теперь сравним $\text{ctg}(-\frac{\pi}{10})$ и $\text{ctg}(-\frac{\pi}{9})$. Оба угла, $-\frac{\pi}{10}$ и $-\frac{\pi}{9}$, принадлежат интервалу $(-\pi, 0)$.

Функция $y=\text{ctg}(x)$ является убывающей на интервале $(-\pi, 0)$.

Сравним аргументы: так как $\frac{1}{9} > \frac{1}{10}$, то $-\frac{\pi}{9} < -\frac{\pi}{10}$.

Поскольку функция котангенса на этом интервале убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, $\text{ctg}(-\frac{\pi}{9}) > \text{ctg}(-\frac{\pi}{10})$.

Следовательно, $\text{ctg}(-\frac{19\pi}{9}) > \text{ctg}(-\frac{21\pi}{10})$.

Ответ: $\text{ctg}(-\frac{21\pi}{10}) < \text{ctg}(-\frac{19\pi}{9})$.

5) Сравним $\text{ctg} 286^\circ$ и $\text{ctg} 288^\circ$.

Оба угла, $286^\circ$ и $288^\circ$, находятся в четвертой координатной четверти, то есть в интервале $(270^\circ, 360^\circ)$.

Функция $y=\text{ctg}(x)$ убывает на интервале $(180^\circ, 360^\circ)$.

Так как $286^\circ < 288^\circ$, и оба угла лежат в интервале убывания котангенса, то $\text{ctg}(286^\circ) > \text{ctg}(288^\circ)$.

Ответ: $\text{ctg} 286^\circ > \text{ctg} 288^\circ$.

6) Сравним $\text{ctg}(-7)$ и $\text{ctg}(-6,5)$ (углы в радианах).

Определим интервал монотонности для функции котангенса, которому принадлежат данные углы. Интервалы монотонности котангенса имеют вид $(\pi n, \pi(n+1))$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.
$-2\pi \approx -6,28$; $-3\pi \approx -9,42$.

Оба угла, -7 и -6,5, принадлежат интервалу $(-3\pi, -2\pi)$, так как $-9,42 < -7 < -6,28$ и $-9,42 < -6,5 < -6,28$.

Функция $y=\text{ctg}(x)$ убывает на интервале $(-3\pi, -2\pi)$.

Сравним аргументы: $-7 < -6,5$.

Поскольку функция котангенса на этом интервале убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Таким образом, $\text{ctg}(-7) > \text{ctg}(-6,5)$.

Ответ: $\text{ctg}(-7) > \text{ctg}(-6,5)$.

176. Сравните:

1) $\operatorname{ctg} 48^{\circ}$ и $\operatorname{tg} 48^{\circ}$;

2) $\operatorname{tg} 56^{\circ}$ и $\operatorname{ctg} 27^{\circ}$;

3) $\operatorname{ctg} 38^{\circ}$ и $\sin 85^{\circ}$.

1) ctg 48° и tg 48°

Для сравнения $ctg\;48^\circ$ и $tg\;48^\circ$ воспользуемся свойствами тригонометрических функций в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
Известно, что $tg\;45^\circ = 1$ и $ctg\;45^\circ = 1$.
Функция $y = tg\;x$ возрастает на интервале $(0^\circ; 90^\circ)$. Так как $48^\circ > 45^\circ$, то $tg\;48^\circ > tg\;45^\circ$, следовательно, $tg\;48^\circ > 1$.
Функция $y = ctg\;x$ убывает на интервале $(0^\circ; 90^\circ)$. Так как $48^\circ > 45^\circ$, то $ctg\;48^\circ < ctg\;45^\circ$, следовательно, $ctg\;48^\circ < 1$.
Таким образом, мы имеем $ctg\;48^\circ < 1$ и $tg\;48^\circ > 1$. Отсюда следует, что $ctg\;48^\circ < tg\;48^\circ$.

Ответ: $ctg\;48^\circ < tg\;48^\circ$.

2) tg 56° и ctg 27°

Чтобы сравнить $tg\;56^\circ$ и $ctg\;27^\circ$, приведем обе функции к одной, например, к тангенсу. Используем формулу приведения: $ctg\; \alpha = tg\;(90^\circ - \alpha)$.
Применим эту формулу к $ctg\;27^\circ$:
$ctg\;27^\circ = tg\;(90^\circ - 27^\circ) = tg\;63^\circ$.
Теперь задача сводится к сравнению $tg\;56^\circ$ и $tg\;63^\circ$.
Поскольку функция $y = tg\;x$ является возрастающей на интервале $(0^\circ; 90^\circ)$, а $56^\circ < 63^\circ$, то $tg\;56^\circ < tg\;63^\circ$.
Следовательно, $tg\;56^\circ < ctg\;27^\circ$.

Ответ: $tg\;56^\circ < ctg\;27^\circ$.

3) ctg 38° и sin 85°

Сравним $ctg\;38^\circ$ и $sin\;85^\circ$.
Рассмотрим каждое значение по отдельности.
Для котангенса: функция $y = ctg\;x$ убывает в первой четверти. Мы знаем, что $ctg\;45^\circ = 1$. Так как $38^\circ < 45^\circ$, то $ctg\;38^\circ > ctg\;45^\circ$, что означает $ctg\;38^\circ > 1$.
Для синуса: функция $y = sin\;x$ принимает значения в диапазоне от -1 до 1. В первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) значения синуса находятся в интервале $(0; 1)$. Максимальное значение, равное 1, достигается при $x=90^\circ$. Так как $85^\circ < 90^\circ$, то $sin\;85^\circ < sin\;90^\circ$, следовательно, $sin\;85^\circ < 1$.
Итак, мы получили, что $ctg\;38^\circ > 1$ и $sin\;85^\circ < 1$. Отсюда следует, что $ctg\;38^\circ > sin\;85^\circ$.

Ответ: $ctg\;38^\circ > sin\;85^\circ$.

177. Возможно ли равенство:

1) $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{ctg} 25^{\circ}$;

2) $\sin \alpha = \operatorname{tg} 40^{\circ}$?

1)

Для того чтобы равенство $ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \ctg 25^\circ $ было возможным, значение правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.

Оценим значение выражения $ \frac{1}{\sqrt{3}} \ctg 25^\circ $.

Функция котангенс является убывающей на интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $. Сравним $ \ctg 25^\circ $ с известным значением $ \ctg 30^\circ = \sqrt{3} $.

Так как $ 25^\circ < 30^\circ $, то $ \ctg 25^\circ > \ctg 30^\circ $.

Это означает, что $ \ctg 25^\circ > \sqrt{3} $.

Умножим обе части этого неравенства на положительное число $ \frac{1}{\sqrt{3}} $:

$ \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \ctg 25^\circ > \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} $

$ \frac{1}{\sqrt{3}} \ctg 25^\circ > 1 $

Поскольку значение выражения $ \frac{1}{\sqrt{3}} \ctg 25^\circ $ больше 1, оно не попадает в область значений функции $ \cos \alpha $, которая ограничена отрезком $ [-1; 1] $. Следовательно, такое равенство невозможно.

Ответ: невозможно.

2)

Для того чтобы равенство $ \sin \alpha = \tg 40^\circ $ было возможным, значение правой части должно принадлежать области значений функции синус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.

Оценим значение выражения $ \tg 40^\circ $.

Функция тангенс является возрастающей на интервале $ (-90^\circ; 90^\circ) $. Сравним $ \tg 40^\circ $ с известным значением $ \tg 45^\circ = 1 $.

Так как $ 0^\circ < 40^\circ < 45^\circ $, то $ \tg 0^\circ < \tg 40^\circ < \tg 45^\circ $.

Зная, что $ \tg 0^\circ = 0 $ и $ \tg 45^\circ = 1 $, получаем:

$ 0 < \tg 40^\circ < 1 $

Значение $ \tg 40^\circ $ принадлежит интервалу $ (0; 1) $, который полностью содержится в отрезке $ [-1; 1] $. Следовательно, существует такой угол $ \alpha $, для которого данное равенство будет верным.

Ответ: возможно.

178. Постройте график функции:

1) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = 3\text{tg} x - 2$;

3) $y = \text{ctg} \frac{2x}{3}$;

4) $y = -2\text{ctg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1$.

1) $y = \tg(x - \frac{\pi}{3})$

Для построения графика функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{3})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Строим график базовой функции $y = \tg x$.
   Это периодическая функция с периодом $T = \pi$.
   Вертикальные асимптоты проходят через точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   График проходит через начало координат $(0, 0)$.
2. Выполняем сдвиг (параллельный перенос).
   Функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = \tg x$ и $c = \frac{\pi}{3}$. Поскольку $c > 0$, необходимо сдвинуть график функции $y = \tg x$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц.
3. Итоговый график $y = \tg(x - \frac{\pi}{3})$.
   Период функции не изменился и равен $\pi$.
   Вертикальные асимптоты также сдвинулись вправо на $\frac{\pi}{3}$. Их новое положение определяется уравнением $x = (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) + \pi n = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Точка $(0, 0)$ базового графика переместилась в точку $(\frac{\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \tg(x - \frac{\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \tg x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси Ox.

2) $y = 3\tg x - 2$

Для построения графика функции $y = 3\tg x - 2$ необходимо выполнить преобразования графика базовой функции $y = \tg x$.

1. Строим график базовой функции $y = \tg x$.
2. Выполняем растяжение вдоль оси Oy.
   Строим график функции $y_1 = 3\tg x$. Для этого нужно график $y = \tg x$ растянуть от оси Ox в 3 раза. Каждая ордината (значение y) графика умножается на 3. Например, точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, 3)$. Асимптоты и нули функции останутся на своих местах.
3. Выполняем сдвиг вдоль оси Oy.
   Строим итоговый график $y = 3\tg x - 2$. Для этого необходимо сдвинуть график функции $y_1 = 3\tg x$ вниз вдоль оси Oy на 2 единицы.
4. Итоговый график $y = 3\tg x - 2$.
   Период функции не изменился и равен $\pi$.
   Вертикальные асимптоты остались прежними: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Точка $(0, 0)$ базового графика сначала осталась на месте при растяжении, а затем переместилась в точку $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y = 3\tg x - 2$ получается путем растяжения графика $y = \tg x$ в 3 раза вдоль оси Oy с последующим сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

3) $y = \ctg \frac{2x}{3}$

Для построения графика функции $y = \ctg \frac{2x}{3}$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \ctg x$.

1. Строим график базовой функции $y = \ctg x$.
   Это периодическая функция с периодом $T = \pi$.
   Вертикальные асимптоты проходят через точки $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Выполняем растяжение вдоль оси Ox.
   Функция имеет вид $y = f(kx)$, где $f(x) = \ctg x$ и $k = \frac{2}{3}$. Поскольку $0 < k < 1$, необходимо выполнить растяжение графика $y = \ctg x$ от оси Oy в $\frac{1}{k} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$ раза.
3. Итоговый график $y = \ctg \frac{2x}{3}$.
   Период функции изменился: $T' = \frac{T}{k} = \frac{\pi}{2/3} = \frac{3\pi}{2}$.
   Вертикальные асимптоты изменили свое положение: $\frac{2x}{3} = \pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Нули функции также сдвинулись: $\frac{2x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \ctg \frac{2x}{3}$ получается путем растяжения графика функции $y = \ctg x$ в 1.5 раза от оси Oy.

4) $y = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4}) + 1$

Для построения графика данной функции необходимо последовательно выполнить несколько преобразований графика базовой функции $y = \ctg x$.

1. Строим график базовой функции $y = \ctg x$.
2. Сдвиг вправо на $\frac{\pi}{4}$.
   Строим график $y_1 = \ctg(x - \frac{\pi}{4})$, сдвигая график $y = \ctg x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$. Асимптоты теперь находятся в точках $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.
3. Растяжение и отражение.
   Строим график $y_2 = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4})$. Для этого график $y_1$ нужно растянуть в 2 раза вдоль оси Oy, а затем симметрично отразить относительно оси Ox. Теперь функция будет возрастающей на каждом интервале определения.
4. Сдвиг вверх на 1.
   Строим итоговый график $y = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4}) + 1$. Для этого сдвигаем график $y_2$ вверх на 1 единицу вдоль оси Oy.
5. Итоговый график $y = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4}) + 1$.
   Период функции не изменился и равен $\pi$.
   Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
   Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ базового графика после всех преобразований перейдет в точку:
   1. Сдвиг вправо: $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{3\pi}{4}, 0)$.
   2. Растяжение и отражение: $(\frac{3\pi}{4}, -2 \cdot 0) = (\frac{3\pi}{4}, 0)$.
   3. Сдвиг вверх: $(\frac{3\pi}{4}, 0 + 1) = (\frac{3\pi}{4}, 1)$. Эта точка является точкой перегиба на одной из ветвей графика.

Ответ: График функции $y = -2\ctg(x - \frac{\pi}{4}) + 1$ получается из графика $y = \ctg x$ последовательным применением следующих преобразований: сдвиг вправо на $\frac{\pi}{4}$, растяжение в 2 раза вдоль оси Oy, отражение относительно оси Ox и сдвиг вверх на 1.

179. Постройте график функции:

1) $y = \text{tg} 3|x|$;

2) $y = |\text{ctg} x| - \text{ctg} x$.

1) Построим график функции $y = \operatorname{tg} 3|x|$.

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{tg}(3|-x|) = \operatorname{tg}(3|x|) = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для построения графика достаточно построить его для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить относительно оси OY.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \operatorname{tg}(3x)$.

Это график функции $y = \operatorname{tg} x$, сжатый по горизонтали (вдоль оси OX) в 3 раза.
Основные свойства функции $y = \operatorname{tg}(3x)$:

• Период функции: $T = \frac{\pi}{3}$.
• Область определения: $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это вертикальные асимптоты графика.
• Нули функции: $3x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Построим график $y = \operatorname{tg}(3x)$ для $x \ge 0$. Ветви тангенсоиды проходят через точки $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, 0)$ и т.д., и ограничены вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{5\pi}{6}$ и т.д.

Теперь, чтобы получить полный график функции $y = \operatorname{tg} 3|x|$, мы отражаем построенную часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно оси OY. В результате асимптоты появятся и при отрицательных значениях $x$: $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = -\frac{5\pi}{6}$ и т.д. График в точке $x=0$ будет иметь "излом", касаясь оси OX.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} 3|x|$ строится следующим образом: сначала строится график функции $y = \operatorname{tg}(3x)$ для $x \ge 0$, а затем эта часть графика отражается симметрично относительно оси OY.

2) Построим график функции $y = |\operatorname{ctg} x| - \operatorname{ctg} x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $\operatorname{ctg} x \ge 0$.

Это условие выполняется, когда $x$ находится в I и III координатных четвертях, то есть при $x \in (k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$ для любого целого $k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$, и функция принимает вид:
$y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$.

Случай 2: $\operatorname{ctg} x < 0$.

Это условие выполняется, когда $x$ находится во II и IV координатных четвертях, то есть при $x \in (k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi)$ для любого целого $k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$, и функция принимает вид:
$y = -\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = -2\operatorname{ctg} x$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \in (k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}] \\ -2\operatorname{ctg} x, & \text{если } x \in (k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Построение графика:

• На интервалах $(k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$ график совпадает с осью OX. Например, на $(0, \frac{\pi}{2}]$, $(\pi, \frac{3\pi}{2}]$, и т.д.
• На интервалах $(k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi)$ мы строим график функции $y = -2\operatorname{ctg} x$. Этот график получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ отражением относительно оси OX и растяжением вдоль оси OY в 2 раза. Вертикальными асимптотами для этих частей графика будут прямые $x = k\pi$ (точнее, $x=(k+1)\pi$). Например, на интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ функция возрастает от 0 до $+\infty$. В точке $x = \frac{3\pi}{4}$, $y = -2\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -2(-1) = 2$. Прямая $x=\pi$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: График функции представляет собой совокупность отрезков на оси OX на интервалах $(k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$ и ветвей функции $y = -2\operatorname{ctg} x$ на интервалах $(k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi)$ для всех целых $k$.