Номер 179, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Постройте график функции:

1) $y = \text{tg} 3|x|$;

2) $y = |\text{ctg} x| - \text{ctg} x$.

1) Построим график функции $y = \operatorname{tg} 3|x|$.

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{tg}(3|-x|) = \operatorname{tg}(3|x|) = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Для построения графика достаточно построить его для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить относительно оси OY.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \operatorname{tg}(3x)$.

Это график функции $y = \operatorname{tg} x$, сжатый по горизонтали (вдоль оси OX) в 3 раза.
Основные свойства функции $y = \operatorname{tg}(3x)$:

• Период функции: $T = \frac{\pi}{3}$.
• Область определения: $3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это вертикальные асимптоты графика.
• Нули функции: $3x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Построим график $y = \operatorname{tg}(3x)$ для $x \ge 0$. Ветви тангенсоиды проходят через точки $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, 0)$ и т.д., и ограничены вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{5\pi}{6}$ и т.д.

Теперь, чтобы получить полный график функции $y = \operatorname{tg} 3|x|$, мы отражаем построенную часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно оси OY. В результате асимптоты появятся и при отрицательных значениях $x$: $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = -\frac{5\pi}{6}$ и т.д. График в точке $x=0$ будет иметь "излом", касаясь оси OX.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} 3|x|$ строится следующим образом: сначала строится график функции $y = \operatorname{tg}(3x)$ для $x \ge 0$, а затем эта часть графика отражается симметрично относительно оси OY.

2) Построим график функции $y = |\operatorname{ctg} x| - \operatorname{ctg} x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $\operatorname{ctg} x \ge 0$.

Это условие выполняется, когда $x$ находится в I и III координатных четвертях, то есть при $x \in (k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$ для любого целого $k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$, и функция принимает вид:
$y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$.

Случай 2: $\operatorname{ctg} x < 0$.

Это условие выполняется, когда $x$ находится во II и IV координатных четвертях, то есть при $x \in (k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi)$ для любого целого $k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
В этом случае $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$, и функция принимает вид:
$y = -\operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = -2\operatorname{ctg} x$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \in (k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}] \\ -2\operatorname{ctg} x, & \text{если } x \in (k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi) \end{cases}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Построение графика:

• На интервалах $(k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$ график совпадает с осью OX. Например, на $(0, \frac{\pi}{2}]$, $(\pi, \frac{3\pi}{2}]$, и т.д.
• На интервалах $(k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi)$ мы строим график функции $y = -2\operatorname{ctg} x$. Этот график получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ отражением относительно оси OX и растяжением вдоль оси OY в 2 раза. Вертикальными асимптотами для этих частей графика будут прямые $x = k\pi$ (точнее, $x=(k+1)\pi$). Например, на интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ функция возрастает от 0 до $+\infty$. В точке $x = \frac{3\pi}{4}$, $y = -2\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -2(-1) = 2$. Прямая $x=\pi$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: График функции представляет собой совокупность отрезков на оси OX на интервалах $(k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2}]$ и ветвей функции $y = -2\operatorname{ctg} x$ на интервалах $(k\pi + \frac{\pi}{2}, (k+1)\pi)$ для всех целых $k$.