Номер 172, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. Постройте график функции:

1) $y = \cos x - 1,5$;

2) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

3) $y = \cos 2x$;

4) $y = -\frac{1}{3}\cos x$;

5) $y = -\frac{1}{3}\cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 1,5$.

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y=\cos x$.

Для построения графика функции $y = \cos x - 1,5$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \cos x$. Данное преобразование является вертикальным сдвигом графика $y = \cos x$ на 1,5 единицы вниз вдоль оси Oy.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$ (стандартную косинусоиду).

2. Сдвигаем каждую точку построенного графика на 1,5 единицы вниз. Например, ключевые точки преобразуются так:
- Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1 - 1,5) = (0, -0,5)$.
- Точка пересечения с осью Ox $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 0 - 1,5) = (\frac{\pi}{2}, -1,5)$.
- Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi, -1 - 1,5) = (\pi, -2,5)$.

Свойства измененного графика:
- Период остается неизменным: $T = 2\pi$.
- Область значений сдвигается: исходная $[-1, 1]$ становится $[-1 - 1,5, 1 - 1,5]$, то есть $[-2,5, -0,5]$.

Ответ: График функции $y = \cos x - 1,5$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на 1,5 единицы вниз по оси Oy.

Для построения графика функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \cos x$. Это преобразование является горизонтальным сдвигом (фазовым сдвигом) графика $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо вдоль оси Ox.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.

2. Сдвигаем каждую точку построенного графика на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо. Например, ключевые точки преобразуются так:
- Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0 + \frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{\pi}{6}, 1)$.
- Точка пересечения с осью Ox $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{2\pi}{3}, 0)$.
- Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi + \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{7\pi}{6}, -1)$.

Свойства измененного графика:
- Период остается неизменным: $T = 2\pi$.
- Область значений остается неизменной: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{6}$ единиц вправо по оси Ox.

Для построения графика функции $y = \cos 2x$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \cos x$. Это преобразование является горизонтальным сжатием графика $y = \cos x$ к оси Oy в 2 раза.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.

2. Сжимаем график к оси Oy в 2 раза. Это означает, что абсцисса ($x$) каждой точки графика делится на 2, а ордината ($y$) остается неизменной. Например, ключевые точки преобразуются так:
- Максимум $(0, 1)$ остается на месте $(0, 1)$.
- Точка пересечения с осью Ox $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
- Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, -1)$.
- Максимум $(2\pi, 1)$ переходит в точку $(\pi, 1)$.

Свойства измененного графика:
- Период изменяется: $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
- Область значений остается неизменной: $[-1, 1]$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x$ получается путем сжатия графика функции $y = \cos x$ к оси Oy в 2 раза. Период функции равен $\pi$.

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{3}\cos x$ необходимо выполнить два последовательных преобразования графика базовой функции $y = \cos x$: вертикальное сжатие и отражение относительно оси Ox.

Порядок построения:

1. Строим график функции $y = \cos x$.

2. Выполняем вертикальное сжатие графика к оси Ox в 3 раза. Ордината ($y$) каждой точки умножается на $\frac{1}{3}$.

3. Выполняем отражение полученного графика относительно оси Ox. Ордината ($y$) каждой точки умножается на -1. В итоге, ордината каждой точки исходного графика $y = \cos x$ умножается на $-\frac{1}{3}$.
- Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0, -\frac{1}{3})$.
- Точка пересечения с осью Ox $(\frac{\pi}{2}, 0)$ остается на месте.
- Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi, \frac{1}{3})$.

Свойства измененного графика:
- Период остается неизменным: $T = 2\pi$.
- Амплитуда изменяется: $A = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.
- Область значений изменяется: исходная $[-1, 1]$ становится $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}\cos x$ получается путем сжатия графика функции $y = \cos x$ к оси Ox в 3 раза и последующего симметричного отражения относительно оси Ox.

Для построения графика этой функции необходимо последовательно применить несколько преобразований к графику базовой функции $y = \cos x$.

Порядок построения:

1. Сдвиг вправо: Сначала строим график $y = \cos(x - \frac{\pi}{6})$, сдвигая график $y = \cos x$ вправо на $\frac{\pi}{6}$.

2. Сжатие и отражение: Затем строим график $y = -\frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{6})$. Для этого предыдущий график сжимаем к оси Ox в 3 раза (умножаем ординаты на $\frac{1}{3}$) и отражаем относительно оси Ox (умножаем ординаты на -1).

3. Сдвиг вниз: Наконец, строим итоговый график, сдвигая последний график вниз на 1,5 единицы (вычитаем 1,5 из ординат).

Преобразование ключевых точек:
Возьмем точку $(0, 1)$ на графике $y=\cos x$.
1. Сдвиг вправо: $(\frac{\pi}{6}, 1)$.
2. Сжатие и отражение: $(\frac{\pi}{6}, 1 \cdot (-\frac{1}{3})) = (\frac{\pi}{6}, -\frac{1}{3})$.
3. Сдвиг вниз: $(\frac{\pi}{6}, -\frac{1}{3} - 1,5) = (\frac{\pi}{6}, -\frac{11}{6})$. Это будет точка нового минимума.
Возьмем точку $(\pi, -1)$ на графике $y=\cos x$.
1. Сдвиг вправо: $(\pi + \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{7\pi}{6}, -1)$.
2. Сжатие и отражение: $(\frac{7\pi}{6}, -1 \cdot (-\frac{1}{3})) = (\frac{7\pi}{6}, \frac{1}{3})$.
3. Сдвиг вниз: $(\frac{7\pi}{6}, \frac{1}{3} - 1,5) = (\frac{7\pi}{6}, -\frac{7}{6})$. Это будет точка нового максимума.

Свойства итогового графика:
- Период: $T = 2\pi$.
- Амплитуда: $A = \frac{1}{3}$.
- Фазовый сдвиг: $\frac{\pi}{6}$ вправо.
- Вертикальный сдвиг: 1,5 вниз.
- Область значений: $[ -1,5 - \frac{1}{3}, -1,5 + \frac{1}{3}] = [-\frac{11}{6}, -\frac{7}{6}]$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{6}) - 1,5$ получается из графика $y = \cos x$ путем следующих преобразований: сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$, сжатие к оси Ox в 3 раза, отражение относительно оси Ox и сдвиг вниз на 1,5 единицы.