Номер 173, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. Какие из указанных точек принадлежат графику функции: 1) $y = \operatorname{tg} x$; 2) $y = \operatorname{ctg} x$:

1) $A \left( \frac{8\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$;

2) $B \left( -\frac{11\pi}{6}; \sqrt{3} \right)$;

3) $C (4\pi; 0)$;

4) $D \left( -\frac{7\pi}{4}; 1 \right)$;

5) $E \left( \frac{19\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить координаты точки в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику.

1) y = tg x

Проверим каждую из указанных точек:

1) $A\left(\frac{8\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Подставляем $x = \frac{8\pi}{3}$ в функцию: $y = \operatorname{tg}\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$.

Так как $-\sqrt{3} \ne -\frac{\sqrt{3}}{3}$, точка A не принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

2) $B\left(-\frac{11\pi}{6}; \sqrt{3}\right)$

Подставляем $x = -\frac{11\pi}{6}$ в функцию: $y = \operatorname{tg}\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как $\frac{\sqrt{3}}{3} \ne \sqrt{3}$, точка B не принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

3) $C(4\pi; 0)$

Подставляем $x = 4\pi$ в функцию: $y = \operatorname{tg}(4\pi) = \operatorname{tg}(0) = 0$.

Так как $0 = 0$, точка C принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

4) $D\left(-\frac{7\pi}{4}; 1\right)$

Подставляем $x = -\frac{7\pi}{4}$ в функцию: $y = \operatorname{tg}\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Так как $1 = 1$, точка D принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

5) $E\left(\frac{19\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Подставляем $x = \frac{19\pi}{6}$ в функцию: $y = \operatorname{tg}\left(\frac{19\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(3\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, точка E принадлежит графику функции $y = \operatorname{tg} x$.

Ответ: графику функции $y = \operatorname{tg} x$ принадлежат точки C, D, E.

2) y = ctg x

Проверим каждую из указанных точек:

1) $A\left(\frac{8\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Подставляем $x = \frac{8\pi}{3}$ в функцию: $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg}\left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как $-\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, точка A принадлежит графику функции $y = \operatorname{ctg} x$.

2) $B\left(-\frac{11\pi}{6}; \sqrt{3}\right)$

Подставляем $x = -\frac{11\pi}{6}$ в функцию: $y = \operatorname{ctg}\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} = \sqrt{3}$, точка B принадлежит графику функции $y = \operatorname{ctg} x$.

3) $C(4\pi; 0)$

Область определения функции $y = \operatorname{ctg} x$ - все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k$ - целое число. Поскольку $x = 4\pi$ является точкой, где функция не определена ($k=4$), точка C не может принадлежать графику.

4) $D\left(-\frac{7\pi}{4}; 1\right)$

Подставляем $x = -\frac{7\pi}{4}$ в функцию: $y = \operatorname{ctg}\left(-\frac{7\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Так как $1 = 1$, точка D принадлежит графику функции $y = \operatorname{ctg} x$.

5) $E\left(\frac{19\pi}{6}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Подставляем $x = \frac{19\pi}{6}$ в функцию: $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{19\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg}\left(3\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.

Так как $\sqrt{3} \ne \frac{\sqrt{3}}{3}$, точка E не принадлежит графику функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Ответ: графику функции $y = \operatorname{ctg} x$ принадлежат точки A, B, D.