Номер 170, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \sqrt{2} \sin 46^{\circ}$;

2) $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^{\circ}$?

1) $ \sin \alpha = \sqrt{2} \sin 46^\circ $

Для того чтобы данное равенство было возможно, значение выражения в правой части, то есть $ \sqrt{2} \sin 46^\circ $, должно принадлежать области значений функции синус. Область значений функции $ y = \sin x $ — это отрезок $ [-1; 1] $. Следовательно, должно выполняться неравенство $ -1 \le \sqrt{2} \sin 46^\circ \le 1 $.

Оценим значение выражения $ \sqrt{2} \sin 46^\circ $.

Функция синус возрастает в первой четверти, то есть на промежутке от $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $. Поскольку $ 46^\circ > 45^\circ $, то и значение синуса для большего угла будет больше:

$ \sin 46^\circ > \sin 45^\circ $

Мы знаем, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Подставим это значение в неравенство:

$ \sin 46^\circ > \frac{\sqrt{2}}{2} $

Теперь умножим обе части неравенства на $ \sqrt{2} $. Так как $ \sqrt{2} > 0 $, знак неравенства не изменится:

$ \sqrt{2} \sin 46^\circ > \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sqrt{2} \sin 46^\circ > \frac{2}{2} $

$ \sqrt{2} \sin 46^\circ > 1 $

Мы получили, что значение выражения в правой части равенства строго больше 1. Однако максимальное значение, которое может принимать $ \sin \alpha $, равно 1. Таким образом, не существует такого угла $ \alpha $, для которого $ \sin \alpha $ был бы больше 1. Следовательно, данное равенство невозможно.

Ответ: равенство невозможно.

2) $ \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^\circ $

Аналогично первому пункту, данное равенство возможно только в том случае, если значение выражения в правой части принадлежит области значений функции косинус, то есть отрезку $ [-1; 1] $. Проверим, выполняется ли условие $ -1 \le \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^\circ \le 1 $.

Преобразуем выражение в правой части. Заметим, что $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Отсюда $ \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sin 60^\circ} $.

Подставим это в правую часть исходного равенства:

$ \frac{2}{\sqrt{3}} \sin 59^\circ = \frac{1}{\sin 60^\circ} \cdot \sin 59^\circ = \frac{\sin 59^\circ}{\sin 60^\circ} $

Теперь оценим значение полученной дроби $ \frac{\sin 59^\circ}{\sin 60^\circ} $.

Углы $ 59^\circ $ и $ 60^\circ $ находятся в первой четверти, где синус положителен и возрастает. Так как $ 0^\circ < 59^\circ < 60^\circ $, то выполняется неравенство $ 0 < \sin 59^\circ < \sin 60^\circ $.

Поскольку числитель дроби $ \sin 59^\circ $ положителен и меньше знаменателя $ \sin 60^\circ $, то значение всей дроби находится в интервале от 0 до 1:

$ 0 < \frac{\sin 59^\circ}{\sin 60^\circ} < 1 $

Значение правой части равенства принадлежит интервалу $ (0; 1) $, который является частью отрезка $ [-1; 1] $. Это означает, что существует такой угол $ \alpha $, косинус которого равен этому значению. Следовательно, данное равенство возможно.

Ответ: равенство возможно.