Номер 163, страница 81 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. На рисунке 16 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 2T]$.

Рис. 16

a

$y$ $0$ $Tx$

б

$y$ $-\frac{T}{2}$ $0$ $\frac{T}{2}$ $x$

в

$y$ $\frac{2T}{3}$ $0$ $\frac{T}{3}$ $x$

Для построения графика периодической функции $f(x)$ с периодом $T$ на заданном промежутке используется свойство периодичности: $f(x+T) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Это означает, что для получения всего графика достаточно сдвигать известный его фрагмент вдоль оси абсцисс на величины, кратные периоду $T$.

a

На рисунке а изображен график функции на промежутке $[0; T]$. Длина этого промежутка совпадает с периодом $T$. Чтобы построить график на промежутке $[-2T; 2T]$, необходимо скопировать данный фрагмент и расположить его на соседних интервалах такой же длины. График на промежутке $[T; 2T]$ будет точной копией графика на $[0; T]$ (сдвиг на $T$ вправо). Аналогично, графики на промежутках $[-T; 0]$ и $[-2T; -T]$ также будут являться копиями исходного фрагмента (сдвиги на $T$ и $2T$ влево соответственно). В результате получится непрерывный график, состоящий из четырех одинаковых частей, причем в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$ значение функции равно нулю.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из четырех последовательных копий фрагмента, показанного на рисунке.

б

На рисунке б показан график на промежутке $[-T/2; T/2]$. Длина этого промежутка равна $T/2 - (-T/2) = T$, что составляет один период. Этот фрагмент имеет форму треугольника. Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$, мы должны многократно скопировать этот "треугольник". Сдвигая исходный фрагмент на $T$ вправо, мы получаем график на промежутке $[T/2; 3T/2]$. Сдвигая на $T$ влево, получаем график на $[-3T/2; -T/2]$. Чтобы покрыть весь интервал $[-2T; 2T]$, нам также понадобятся части копий, сдвинутых на $2T$ вправо и на $2T$ влево. В итоге получится непрерывная ломаная линия. Максимумы (вершины "треугольников") будут в точках $x = k \cdot T$, а нули функции (основания "треугольников") – в точках $x = T/2 + k \cdot T$, где $k$ – целое число. Таким образом, на промежутке $[-2T; 2T]$ мы получим четыре полных "треугольных" импульса.

Ответ: Итоговый график на промежутке $[-2T; 2T]$ представляет собой непрерывную ломаную линию, состоящую из четырех "треугольных" импульсов, с вершинами в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$.

в

На рисунке в изображена часть графика на объединении промежутков $[-2T/3; 0)$ и $(0; T/3]$. Общая длина области определения на рисунке составляет $T$. Функция имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Так как значения функции на концах, $f(-2T/3)$ и $f(T/3)$, не равны, периодическое продолжение этой функции будет иметь разрывы. Для построения графика на $[-2T; 2T]$ сдвигаем данный фрагмент на $kT$ для целых $k$. Сдвиг на $T$ вправо дает нам график на промежутке $[T/3; 4T/3]$ с асимптотой $x=T$. Сдвиг на $-T$ (влево) дает график на $[-5T/3; -2T/3]$ с асимптотой $x=-T$. Для полного покрытия интервала $[-2T; 2T]$ также потребуются части графика, сдвинутые на $2T$ и $-2T$. В результате на всем промежутке $[-2T; 2T]$ график будет иметь вертикальные асимптоты в точках $x=kT$ для целых $k$ (т.е. в $x=-2T, -T, 0, T, 2T$). В точках вида $x=T/3 + kT$ будут наблюдаться разрывы первого рода (скачки), поскольку значение функции при подходе к точке с одной стороны не будет равно значению в начале следующего скопированного фрагмента.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ будет состоять из повторяющихся фрагментов, аналогичных данному, с вертикальными асимптотами в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$ и разрывами (скачками) в точках $x = T/3 + kT$ для целых $k$.