Страница 81 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Известно, что число $T = \sqrt{3}$ является периодом функции $f$. Укажите ещё какие-либо три числа, которые являются периодами этой функции.

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Важным свойством периодических функций является то, что если число $T$ — период функции, то и любое число вида $nT$, где $n$ — любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$), также является периодом этой функции.

Докажем это. Например, для $n=2$:

$f(x + 2T) = f((x+T)+T)$. Так как $T$ — период, то $f((x+T)+T) = f(x+T)$. И так как $T$ — период, то $f(x+T) = f(x)$. Следовательно, $f(x + 2T) = f(x)$, и $2T$ тоже является периодом.

Аналогично для $n=-1$:

В равенстве $f(x+T) = f(x)$ заменим $x$ на $x-T$. Получим $f((x-T)+T) = f(x-T)$, что равносильно $f(x) = f(x-T)$. Это означает, что $-T$ также является периодом.

В данной задаче известно, что $T=\sqrt{3}$ является периодом функции $f$. Чтобы найти еще три периода, мы можем умножить $T$ на любые три различных целых числа, не равных нулю и единице.

Возьмем, к примеру, $n=2$, $n=3$ и $n=-1$:

• При $n=2$: новый период равен $2 \cdot T = 2\sqrt{3}$.
• При $n=3$: новый период равен $3 \cdot T = 3\sqrt{3}$.
• При $n=-1$: новый период равен $-1 \cdot T = -\sqrt{3}$.

Таким образом, мы нашли три числа, которые также являются периодами функции $f$.

Ответ: Например, $2\sqrt{3}$, $3\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$.

163. На рисунке 16 изображена часть графика периодической функции, период которой равен $T$. Постройте график этой функции на промежутке $[-2T; 2T]$.

Рис. 16

a

$y$ $0$ $Tx$

б

$y$ $-\frac{T}{2}$ $0$ $\frac{T}{2}$ $x$

в

$y$ $\frac{2T}{3}$ $0$ $\frac{T}{3}$ $x$

Для построения графика периодической функции $f(x)$ с периодом $T$ на заданном промежутке используется свойство периодичности: $f(x+T) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. Это означает, что для получения всего графика достаточно сдвигать известный его фрагмент вдоль оси абсцисс на величины, кратные периоду $T$.

a

На рисунке а изображен график функции на промежутке $[0; T]$. Длина этого промежутка совпадает с периодом $T$. Чтобы построить график на промежутке $[-2T; 2T]$, необходимо скопировать данный фрагмент и расположить его на соседних интервалах такой же длины. График на промежутке $[T; 2T]$ будет точной копией графика на $[0; T]$ (сдвиг на $T$ вправо). Аналогично, графики на промежутках $[-T; 0]$ и $[-2T; -T]$ также будут являться копиями исходного фрагмента (сдвиги на $T$ и $2T$ влево соответственно). В результате получится непрерывный график, состоящий из четырех одинаковых частей, причем в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$ значение функции равно нулю.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ состоит из четырех последовательных копий фрагмента, показанного на рисунке.

б

На рисунке б показан график на промежутке $[-T/2; T/2]$. Длина этого промежутка равна $T/2 - (-T/2) = T$, что составляет один период. Этот фрагмент имеет форму треугольника. Для построения графика на промежутке $[-2T; 2T]$, мы должны многократно скопировать этот "треугольник". Сдвигая исходный фрагмент на $T$ вправо, мы получаем график на промежутке $[T/2; 3T/2]$. Сдвигая на $T$ влево, получаем график на $[-3T/2; -T/2]$. Чтобы покрыть весь интервал $[-2T; 2T]$, нам также понадобятся части копий, сдвинутых на $2T$ вправо и на $2T$ влево. В итоге получится непрерывная ломаная линия. Максимумы (вершины "треугольников") будут в точках $x = k \cdot T$, а нули функции (основания "треугольников") – в точках $x = T/2 + k \cdot T$, где $k$ – целое число. Таким образом, на промежутке $[-2T; 2T]$ мы получим четыре полных "треугольных" импульса.

Ответ: Итоговый график на промежутке $[-2T; 2T]$ представляет собой непрерывную ломаную линию, состоящую из четырех "треугольных" импульсов, с вершинами в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$.

в

На рисунке в изображена часть графика на объединении промежутков $[-2T/3; 0)$ и $(0; T/3]$. Общая длина области определения на рисунке составляет $T$. Функция имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Так как значения функции на концах, $f(-2T/3)$ и $f(T/3)$, не равны, периодическое продолжение этой функции будет иметь разрывы. Для построения графика на $[-2T; 2T]$ сдвигаем данный фрагмент на $kT$ для целых $k$. Сдвиг на $T$ вправо дает нам график на промежутке $[T/3; 4T/3]$ с асимптотой $x=T$. Сдвиг на $-T$ (влево) дает график на $[-5T/3; -2T/3]$ с асимптотой $x=-T$. Для полного покрытия интервала $[-2T; 2T]$ также потребуются части графика, сдвинутые на $2T$ и $-2T$. В результате на всем промежутке $[-2T; 2T]$ график будет иметь вертикальные асимптоты в точках $x=kT$ для целых $k$ (т.е. в $x=-2T, -T, 0, T, 2T$). В точках вида $x=T/3 + kT$ будут наблюдаться разрывы первого рода (скачки), поскольку значение функции при подходе к точке с одной стороны не будет равно значению в начале следующего скопированного фрагмента.

Ответ: График на промежутке $[-2T; 2T]$ будет состоять из повторяющихся фрагментов, аналогичных данному, с вертикальными асимптотами в точках $x = -2T, -T, 0, T, 2T$ и разрывами (скачками) в точках $x = T/3 + kT$ для целых $k$.

164. Покажите, что число $T$ является периодом функции $f$:

1) $f(x) = \cos 2x$, $T = \pi$;

2) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}$, $T = 4$;

3) $f(x) = \left|\operatorname{tg} \frac{x}{4}\right|$, $T = 2\pi$;

4) $f(x) = \sin^6 4x$, $T = \frac{\pi}{4}$.

Чтобы показать, что число $T$ является периодом функции $f(x)$, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть такой, что если $x \in D(f)$, то $x+T$ и $x-T$ также должны принадлежать $D(f)$.
2. Для любого $x$ из области определения функции должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.

1) $f(x) = \cos(2x)$, $T = \pi$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа). Если $x \in \mathbb{R}$, то и $x+\pi \in \mathbb{R}$. Первое условие выполняется.
Проверим второе условие:
$f(x+T) = f(x+\pi) = \cos(2(x+\pi)) = \cos(2x+2\pi)$.
Поскольку функция косинус имеет основной период $2\pi$, то $\cos(A+2\pi) = \cos(A)$ для любого $A$.
Следовательно, $\cos(2x+2\pi) = \cos(2x) = f(x)$.
Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Число $T = \pi$ является периодом функции $f(x) = \cos(2x)$.

2) $f(x) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$, $T = 4$

Область определения функции тангенс $\operatorname{tg}(u)$ требует, чтобы $u \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $u = \frac{\pi x}{2}$, поэтому $\frac{\pi x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$. Разделив на $\pi$ и умножив на 2, получаем $x \neq 1 + 2k$. Таким образом, $D(f)$ — все действительные числа, кроме нечетных целых чисел.
Если $x \in D(f)$, то $x$ не является нечетным целым числом. Тогда $x+4$ также не будет нечетным целым числом, так как если предположить обратное, $x+4 = 1+2k$, то $x = -3+2k = 1+2(k-2)$, что противоречит принадлежности $x$ к области определения. Первое условие выполняется.
Проверим второе условие:
$f(x+T) = f(x+4) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi(x+4)}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2} + \frac{4\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2} + 2\pi\right)$.
Поскольку функция тангенс имеет основной период $\pi$, она также имеет период $2\pi$, то есть $\operatorname{tg}(A+2\pi) = \operatorname{tg}(A)$ для любого $A$ из области определения.
Следовательно, $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2} + 2\pi\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2}\right) = f(x)$.
Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из $D(f)$.

Ответ: Число $T = 4$ является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$.

3) $f(x) = \left|\operatorname{tg}\frac{x}{4}\right|$, $T = 2\pi$

Область определения функции определяется условием $\frac{x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Умножив на 4, получаем $x \neq 2\pi + 4\pi k$.
Проверим, что если $x \in D(f)$, то и $x+2\pi \in D(f)$. Если $x+2\pi$ не принадлежит $D(f)$, то $x+2\pi = 2\pi + 4\pi m$ для некоторого $m \in \mathbb{Z}$, что означает $x=4\pi m$. Но точки вида $4\pi m$ принадлежат $D(f)$, так как равенство $4\pi m = 2\pi + 4\pi k$ приводит к неверному равенству $2m=1+2k$. Значит, первое условие выполняется.
Проверим второе условие:
$f(x+T) = f(x+2\pi) = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x+2\pi}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4} + \frac{2\pi}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{2}\right)\right|$.
Используя формулу приведения $\operatorname{tg}(A + \frac{\pi}{2}) = -\operatorname{ctg}(A)$, получаем:
$f(x+2\pi) = \left|-\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\right|$.
Равенство $f(x+T) = f(x)$ свелось к равенству $\left|\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4}\right)\right|$.
Это равенство неверно для всех $x$ из области определения. Например, выберем $x = \frac{2\pi}{3}$, тогда $\frac{x}{4} = \frac{\pi}{6}$.
$f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| = \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
При этом $f\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi\right) = \left|\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
Так как $\frac{1}{\sqrt{3}} \neq \sqrt{3}$, то равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется.
Следовательно, в условии задачи допущена опечатка. Наименьший положительный период для функции $g(x) = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{4}\right)$ равен $T_g = \frac{\pi}{1/4} = 4\pi$. Для функции $f(x) = |g(x)| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4}\right)\right|$ наименьший положительный период также равен $4\pi$.
Покажем, что $T = 4\pi$ является периодом:
$f(x+4\pi) = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x+4\pi}{4}\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4} + \pi\right)\right|$.
Так как период тангенса равен $\pi$, $\operatorname{tg}(A+\pi) = \operatorname{tg}(A)$, поэтому:
$\left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4} + \pi\right)\right| = \left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{4}\right)\right| = f(x)$.
Это равенство выполняется, значит $T=4\pi$ является периодом.

Ответ: Число $T = 2\pi$ не является периодом функции $f(x) = \left|\operatorname{tg}\frac{x}{4}\right|$. Вероятно, в условии опечатка, и периодом является число $T=4\pi$.

4) $f(x) = \sin^6(4x)$, $T = \frac{\pi}{4}$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$. Если $x \in \mathbb{R}$, то и $x+\frac{\pi}{4} \in \mathbb{R}$. Первое условие выполняется.
Проверим второе условие:
$f(x+T) = f\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \sin^6\left(4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin^6\left(4x + 4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin^6(4x + \pi)$.
Используя формулу приведения $\sin(A+\pi) = -\sin(A)$, получаем:
$\sin^6(4x + \pi) = (-\sin(4x))^6$.
Так как степень 6 является четным числом, $(-1)^6 = 1$, то $(-\sin(4x))^6 = (\sin(4x))^6 = \sin^6(4x) = f(x)$.
Равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Число $T = \frac{\pi}{4}$ является периодом функции $f(x) = \sin^6(4x)$.

165. Покажите, что число $T = \frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg} x$.

Согласно определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения этой функции ($D(f)$) выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. При этом точки $x+T$ и $x-T$ также должны принадлежать области определения $D(f)$.

Чтобы доказать, что число $T = \frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \text{tg}\,x$, достаточно найти хотя бы одно значение $x$ из области определения, для которого это условие не выполняется.

Рассмотрим в качестве такого значения $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит области определения функции $f(x) = \text{tg}\,x$, так как $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычислим значение функции в этой точке:
$f(x) = f(\frac{\pi}{4}) = \text{tg}\,\frac{\pi}{4} = 1$.

Теперь вычислим значение функции в точке $x+T$:
$x+T = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi+2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Точка $x+T = \frac{3\pi}{4}$ также принадлежит области определения функции.
$f(x+T) = f(\frac{3\pi}{4}) = \text{tg}\,\frac{3\pi}{4} = -1$.

Сравним полученные значения:
$f(x+T) = -1$ и $f(x) = 1$.
Поскольку $-1 \neq 1$, то равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется.

Это доказывает, что число $T = \frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \text{tg}\,x$.

Ответ: Поскольку, например, для $x=\frac{\pi}{4}$ равенство $f(x+T)=f(x)$ не выполняется, так как $ \text{tg}(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}) = \text{tg}(\frac{3\pi}{4}) = -1 $, а $ \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $, то число $T=\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x)=\text{tg}\,x$.