Страница 76 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0;$

2) $3\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 2 = 0;$

3) $x - 9\sqrt[3]{x} = 0;$

4) $\sqrt{x + 2} = 2\sqrt[4]{x + 2} + 3;$

5) $\sqrt[3]{9 - 6x + x^2} - \sqrt[3]{3 - x} - 2 = 0.$

1) $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение: $t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $t_1 + t_2 = 5$
$t_1 \cdot t_2 = 6$
Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену:
1. $\sqrt[4]{x} = 2 \implies x = 2^4 \implies x = 16$.
2. $\sqrt[4]{x} = 3 \implies x = 3^4 \implies x = 81$.

Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 16; 81.

2) $3\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 2 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия $\sqrt[6]{x}$).
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение: $3t^2 + 5t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$
$t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию. Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{3} \implies x = (\frac{1}{3})^6 \implies x = \frac{1}{729}$.

Значение $x$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{729}$.

3) $x - 9\sqrt[3]{x} = 0$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (корень нечетной степени определен для любых чисел).
Заметим, что $x = (\sqrt[3]{x})^3$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{x}$.

Подставим новую переменную в уравнение: $t^3 - 9t = 0$

Вынесем $t$ за скобки: $t(t^2 - 9) = 0$
$t(t-3)(t+3) = 0$
Отсюда $t_1 = 0$, $t_2 = 3$, $t_3 = -3$.

Выполним обратную замену:
1. $\sqrt[3]{x} = 0 \implies x = 0^3 \implies x = 0$.
2. $\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 \implies x = 27$.
3. $\sqrt[3]{x} = -3 \implies x = (-3)^3 \implies x = -27$.

Ответ: -27; 0; 27.

4) $\sqrt{x+2} = 2\sqrt[4]{x+2} + 3$

Перенесем все члены в левую часть: $\sqrt{x+2} - 2\sqrt[4]{x+2} - 3 = 0$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Заметим, что $\sqrt{x+2} = (\sqrt[4]{x+2})^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[4]{x+2}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение: $t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию. Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x+2} = 3 \implies x+2 = 3^4 \implies x+2 = 81 \implies x = 79$.

Значение $x = 79$ удовлетворяет ОДЗ ($79 \ge -2$).

Ответ: 79.

5) $\sqrt[3]{9-6x+x^2} - \sqrt[3]{3-x} - 2 = 0$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Заметим, что подкоренное выражение $9-6x+x^2$ является полным квадратом: $(3-x)^2$. Уравнение принимает вид: $\sqrt[3]{(3-x)^2} - \sqrt[3]{3-x} - 2 = 0$

Его можно переписать как: $(\sqrt[3]{3-x})^2 - \sqrt[3]{3-x} - 2 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{3-x}$.

Подставим новую переменную в уравнение: $t^2 - t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:
1. $\sqrt[3]{3-x} = 2 \implies 3-x = 2^3 \implies 3-x = 8 \implies x = -5$.
2. $\sqrt[3]{3-x} = -1 \implies 3-x = (-1)^3 \implies 3-x = -1 \implies x = 4$.

Ответ: -5; 4.

127. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = 2$;

2) $\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1$;

3) $\sqrt{3x-5} + \sqrt{x-2} = 3$;

4) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-x} = 3$;

5) $\sqrt{7x+2} + \sqrt{2x-3} = \sqrt{5x+6} + \sqrt{4x-7}$;

6) $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$.

1) $\sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от знака минус:

$\sqrt{x+6} = 2 + \sqrt{x-2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+6})^2 = (2 + \sqrt{x-2})^2$

$x+6 = 4 + 4\sqrt{x-2} + (x-2)$

$x+6 = x+2 + 4\sqrt{x-2}$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:

$x+6 - x - 2 = 4\sqrt{x-2}$

$4 = 4\sqrt{x-2}$

$1 = \sqrt{x-2}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x-2})^2$

$1 = x-2$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $3 \ge 2$, корень принадлежит ОДЗ. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3+6} - \sqrt{3-2} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $3$.

2) $\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x-4 \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 4 \\ x \ge -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -5 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{2x-4} = 1 + \sqrt{x+5}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x-4})^2 = (1 + \sqrt{x+5})^2$

$2x-4 = 1 + 2\sqrt{x+5} + (x+5)$

$2x-4 = x+6 + 2\sqrt{x+5}$

Уединим корень:

$2x-4 - x - 6 = 2\sqrt{x+5}$

$x-10 = 2\sqrt{x+5}$

Так как правая часть уравнения неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $x-10 \ge 0$, откуда $x \ge 10$. Это условие более сильное, чем ОДЗ.

Снова возведем в квадрат:

$(x-10)^2 = (2\sqrt{x+5})^2$

$x^2 - 20x + 100 = 4(x+5)$

$x^2 - 20x + 100 = 4x + 20$

$x^2 - 24x + 80 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1+x_2 = 24$, $x_1 \cdot x_2 = 80$. Корни $x_1 = 20$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни с учетом условия $x \ge 10$.

$x_1 = 20$ удовлетворяет условию $20 \ge 10$.

$x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 10$, следовательно, это посторонний корень.

Проверим корень $x=20$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(20)-4} - \sqrt{20+5} = \sqrt{36} - \sqrt{25} = 6 - 5 = 1$.

$1=1$. Равенство верное.

Ответ: $20$.

3) $\sqrt{3x-5} + \sqrt{x-2} = 3$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x-5 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge 5 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5/3 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{3x-5} = 3 - \sqrt{x-2}$

Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $3 - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies 3 \ge \sqrt{x-2} \implies 9 \ge x-2 \implies x \le 11$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3x-5})^2 = (3 - \sqrt{x-2})^2$

$3x-5 = 9 - 6\sqrt{x-2} + (x-2)$

$3x-5 = x+7 - 6\sqrt{x-2}$

Уединим оставшийся корень:

$6\sqrt{x-2} = x+7 - (3x-5)$

$6\sqrt{x-2} = 12-2x$

$3\sqrt{x-2} = 6-x$

Опять же, левая часть неотрицательна, значит $6-x \ge 0 \implies x \le 6$.

Возведем в квадрат:

$(3\sqrt{x-2})^2 = (6-x)^2$

$9(x-2) = 36 - 12x + x^2$

$9x-18 = 36 - 12x + x^2$

$x^2 - 21x + 54 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2=21$, $x_1 \cdot x_2=54$. Корни $x_1=3$ и $x_2=18$.

Проверим корни с учетом ОДЗ ($x \ge 2$) и полученных ограничений ($x \le 11$ и $x \le 6$, итого $2 \le x \le 6$).

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $2 \le 3 \le 6$.

$x_2 = 18$ не удовлетворяет условию $x \le 6$, это посторонний корень.

Проверим корень $x=3$ подстановкой:

$\sqrt{3(3)-5} + \sqrt{3-2} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$.

$3=3$. Равенство верное.

Ответ: $3$.

4) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-x} = 3$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 3 \end{cases} \implies -2 \le x \le 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} + \sqrt{3-x})^2 = 3^2$

$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(3-x)} + (3-x) = 9$

$5 + 2\sqrt{-x^2+x+6} = 9$

$2\sqrt{-x^2+x+6} = 4$

$\sqrt{-x^2+x+6} = 2$

Снова возведем в квадрат:

$-x^2+x+6 = 4$

$-x^2+x+2 = 0$

$x^2-x-2 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни $x_1=2$ и $x_2=-1$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($-2 \le x \le 3$). Проверим оба:

При $x=2$: $\sqrt{2+2} + \sqrt{3-2} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2+1=3$. Верно.

При $x=-1$: $\sqrt{-1+2} + \sqrt{3-(-1)} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1+2=3$. Верно.

Ответ: $-1; 2$.

5) $\sqrt{7x+2} + \sqrt{2x-3} = \sqrt{5x+6} + \sqrt{4x-7}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 7x+2 \ge 0 \implies x \ge -2/7 \\ 2x-3 \ge 0 \implies x \ge 3/2 \\ 5x+6 \ge 0 \implies x \ge -6/5 \\ 4x-7 \ge 0 \implies x \ge 7/4 \end{cases}$.

Наиболее сильное ограничение $x \ge 7/4$. Значит, ОДЗ: $x \in [7/4; +\infty)$.

Перегруппируем слагаемые:

$\sqrt{7x+2} - \sqrt{5x+6} = \sqrt{4x-7} - \sqrt{2x-3}$

Заметим, что если приравнять аргументы соответствующих корней, получим один и тот же корень:

$7x+2 = 5x+6 \implies 2x=4 \implies x=2$.

$4x-7 = 2x-3 \implies 2x=4 \implies x=2$.

Проверим, является ли $x=2$ решением исходного уравнения. Корень $x=2$ принадлежит ОДЗ ($2 \ge 7/4$).

Подставляем $x=2$:

$\sqrt{7(2)+2} + \sqrt{2(2)-3} = \sqrt{5(2)+6} + \sqrt{4(2)-7}$

$\sqrt{16} + \sqrt{1} = \sqrt{16} + \sqrt{1}$

$4+1 = 4+1$

$5=5$. Равенство верное.

Можно доказать, что это решение единственное. Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt{t+a} - \sqrt{t}$. Ее производная $f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t+a}} - \frac{1}{2\sqrt{t}} < 0$, значит, функция убывающая. Наше уравнение можно записать в виде $\sqrt{(5x+6)+(2x-4)} - \sqrt{5x+6} = \sqrt{(2x-3)+(2x-4)} - \sqrt{2x-3}$, что не очень помогает. Другая перегруппировка $\sqrt{7x+2} - \sqrt{4x-7} = \sqrt{5x+6} - \sqrt{2x-3}$. Разность аргументов слева $(7x+2)-(4x-7)=3x+9$. Разность аргументов справа $(5x+6)-(2x-3)=3x+9$. Уравнение имеет вид $\sqrt{B+(3x+9)}-\sqrt{B} = \sqrt{D+(3x+9)}-\sqrt{D}$, где $B=4x-7, D=2x-3$. Функция $g(t)=\sqrt{t+(3x+9)}-\sqrt{t}$ является убывающей, поэтому равенство возможно только при $B=D$, то есть $4x-7 = 2x-3$, откуда $x=2$.

Ответ: $2$.

6) $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x+4 \ge 0 \implies x \ge -4/3 \\ x-4 \ge 0 \implies x \ge 4 \\ x \ge 0 \end{cases}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(3x+4) + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} + (x-4) = 4x$

$4x + 2\sqrt{3x^2 - 12x + 4x - 16} = 4x$

$4x + 2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 4x$

Вычтем $4x$ из обеих частей:

$2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$

$\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$

Возведем в квадрат:

$3x^2 - 8x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 16}{6}$

$x_1 = \frac{8+16}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

$x_2 = \frac{8-16}{6} = \frac{-8}{6} = -4/3$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 4$).

$x_1=4$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=-4/3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем.

Проверим корень $x=4$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3(4)+4} + \sqrt{4-4} = \sqrt{16} + \sqrt{0} = 4+0=4$.

$2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $4$.

128. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 2\sqrt{x^2 - 24} = 39;$

2) $x^2 + 2x + \sqrt{x^2 + 2x + 8} = 12;$

3) $\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1;$

4) $x\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[3]{x} = 4;$

5) $3x^2 - 6x + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0.$

1) $x^2 - 2\sqrt{x^2 - 24} = 39$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 24 \ge 0$, что означает $x^2 \ge 24$. Отсюда $x \in (-\infty, -2\sqrt{6}] \cup [2\sqrt{6}, \infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x^2 - 24}$. Так как $y$ — это арифметический квадратный корень, то $y \ge 0$.

Из замены следует, что $y^2 = x^2 - 24$, откуда $x^2 = y^2 + 24$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(y^2 + 24) - 2y = 39$

Перенесем все члены в одну сторону и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 2y + 24 - 39 = 0$

$y^2 - 2y - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$. Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Остается $y_1 = 5$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 24} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 - 24 = 25$

$x^2 = 49$

Отсюда $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $7^2 = 49 > 24$ и $(-7)^2 = 49 > 24$.

Ответ: $-7; 7$.

2) $x^2 + 2x + \sqrt{x^2 + 2x + 8} = 12$

ОДЗ: $x^2 + 2x + 8 \ge 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28 < 0$. Так как старший коэффициент положителен ($1 > 0$), трехчлен $x^2 + 2x + 8$ всегда положителен при любых значениях $x$. Таким образом, ОДЗ — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{x^2 + 2x + 8}$. По определению корня, $y \ge 0$.

Тогда $y^2 = x^2 + 2x + 8$, откуда $x^2 + 2x = y^2 - 8$.

Подставим в исходное уравнение:

$(y^2 - 8) + y = 12$

Решим уравнение относительно $y$:

$y^2 + y - 20 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1 = 4$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt{x^2 + 2x + 8} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 + 2x + 8 = 16$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $-4; 2$.

3) $\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1$

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. Это приводит к условию $\frac{2x}{x+1} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{2x}{x+1}}$. Заметим, что $\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = \frac{1}{y}$. Так как $x$ не может быть равен нулю, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид:

$y - 2 \cdot \frac{1}{y} = 1$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):

$y^2 - 2 = y$

$y^2 - y - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Условию $y > 0$ удовлетворяет только $y_1 = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{2x}{x+1}} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{2x}{x+1} = 4$

$2x = 4(x+1)$

$2x = 4x + 4$

$-2x = 4$

$x = -2$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. $-2 \in (-\infty, -1)$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $-2$.

4) $x\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[3]{x^2} = 4$

ОДЗ: кубические корни определены для любых действительных чисел, поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $x\sqrt[3]{x} = x^1 \cdot x^{1/3} = x^{4/3} = (x^{2/3})^2$, а $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.

Уравнение принимает вид:

$(x^{2/3})^2 - 3x^{2/3} - 4 = 0$

Введем замену. Пусть $y = x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y = \sqrt[3]{x^2} \ge 0$.

Подставим замену в уравнение:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1 = 4$.

Выполним обратную замену:

$x^{2/3} = 4$

Это то же самое, что и $\sqrt[3]{x^2} = 4$. Возведем обе части в куб: $x^2 = 4^3 = 64$.

Отсюда $x = \pm \sqrt{64}$, то есть $x = \pm 8$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $-8; 8$.

5) $3x^2 - 6x + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0$

ОДЗ: $x^2 - 2x + 4 \ge 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 2x + 4$ всегда положительно. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем левую часть уравнения: $3(x^2 - 2x) + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{x^2 - 2x + 4}$. Тогда $y \ge 0$.

Из замены следует, что $y^2 = x^2 - 2x + 4$, откуда $x^2 - 2x = y^2 - 4$.

Подставим в преобразованное уравнение:

$3(y^2 - 4) + 2 - y = 0$

$3y^2 - 12 + 2 - y = 0$

$3y^2 - y - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ через дискриминант:

$D_y = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 11}{6}$

$y_1 = \frac{1+11}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{1-11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только корень $y_1 = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 2x + 4 = 4$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $0; 2$.

129. Решите уравнение

$\sqrt{x-4+4\sqrt{x-8}} - \sqrt{x-4-4\sqrt{x-8}} = 2.$

Исходное уравнение:$\sqrt{x - 4 + 4\sqrt{x-8}} - \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x-8}} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными.
1) $x - 8 \ge 0 \implies x \ge 8$.
2) $x - 4 + 4\sqrt{x-8} \ge 0$.
3) $x - 4 - 4\sqrt{x-8} \ge 0$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты. Для этого представим $x-4$ как $(x-8)+4$.
Первое подкоренное выражение:
$x - 4 + 4\sqrt{x-8} = (x-8) + 4\sqrt{x-8} + 4 = (\sqrt{x-8})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-8} + 2^2 = (\sqrt{x-8} + 2)^2$.
Второе подкоренное выражение:
$x - 4 - 4\sqrt{x-8} = (x-8) - 4\sqrt{x-8} + 4 = (\sqrt{x-8})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-8} + 2^2 = (\sqrt{x-8} - 2)^2$.

Так как оба подкоренных выражения являются полными квадратами, они всегда неотрицательны. Таким образом, ОДЗ определяется только первым условием: $x \ge 8$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x-8} + 2)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-8} - 2)^2} = 2$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|\sqrt{x-8} + 2| - |\sqrt{x-8} - 2| = 2$.

Раскроем модули.
Так как $\sqrt{x-8} \ge 0$ (согласно ОДЗ), то выражение $\sqrt{x-8} + 2$ всегда положительно. Следовательно, $|\sqrt{x-8} + 2| = \sqrt{x-8} + 2$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-8} + 2) - |\sqrt{x-8} - 2| = 2$.

Для раскрытия второго модуля рассмотрим два случая.
Случай 1: $\sqrt{x-8} - 2 \ge 0$.
Это условие выполняется при $\sqrt{x-8} \ge 2$, то есть $x-8 \ge 4$, что означает $x \ge 12$.
В этом случае $|\sqrt{x-8} - 2| = \sqrt{x-8} - 2$.
Уравнение становится:
$(\sqrt{x-8} + 2) - (\sqrt{x-8} - 2) = 2$
$\sqrt{x-8} + 2 - \sqrt{x-8} + 2 = 2$
$4 = 2$.
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $\sqrt{x-8} - 2 < 0$.
Это условие выполняется при $\sqrt{x-8} < 2$, то есть $x-8 < 4$, что означает $x < 12$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 8$), этот случай рассматривается на интервале $8 \le x < 12$.
В этом случае $|\sqrt{x-8} - 2| = -(\sqrt{x-8} - 2) = 2 - \sqrt{x-8}$.
Уравнение становится:
$(\sqrt{x-8} + 2) - (2 - \sqrt{x-8}) = 2$
$\sqrt{x-8} + 2 - 2 + \sqrt{x-8} = 2$
$2\sqrt{x-8} = 2$
$\sqrt{x-8} = 1$.
Возводим обе части в квадрат:
$x-8 = 1$
$x = 9$.

Найденное значение $x=9$ удовлетворяет условию $8 \le x < 12$. Проверим его подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{9 - 4 + 4\sqrt{9-8}} - \sqrt{9 - 4 - 4\sqrt{9-8}} = \sqrt{5 + 4\sqrt{1}} - \sqrt{5 - 4\sqrt{1}} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.
$2 = 2$.
Равенство верное, значит, $x=9$ является решением уравнения.

Ответ: $x=9$.

130. Решите уравнение:

1) $\sqrt[10]{3x-1} = \sqrt[14]{0,2-x}$;

2) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2} = \sqrt{6}$;

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{36-2x} = 4x$;

4) $\frac{x+2}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{3x+4}$.

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[10]{3x - 1} = \sqrt[14]{0,2 - x}$.

Поскольку показатели корней (10 и 14) являются четными числами, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 1 \ge 0 \\ 0,2 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

$3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$

$-x \ge -0,2 \implies x \le 0,2$

Таким образом, ОДЗ определяется системой:

$\begin{cases} x \ge \frac{1}{3} \\ x \le 0,2 \end{cases}$

Сравним граничные значения: $\frac{1}{3} \approx 0,333...$ и $0,2$. Очевидно, что $\frac{1}{3} > 0,2$.

Так как не существует числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно $\frac{1}{3}$ и меньше или равно $0,2$, система неравенств не имеет решений. Область допустимых значений является пустым множеством.

Ответ: корней нет.

Дано уравнение $\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 2} = \sqrt{6}$.

Найдем ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge -1$.

Объединим корни в левой части уравнения, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (применимо, так как $a, b \ge 0$ в ОДЗ):

$\sqrt{(x + 1)(x + 2)} = \sqrt{6}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знаков корня:

$(x + 1)(x + 2) = 6$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 2x + x + 2 = 6$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -3, произведение равно -4. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge -1$):

• $x_1 = 1$: $1 \ge -1$ (верно), корень подходит.
• $x_2 = -4$: $-4 \ge -1$ (неверно), это посторонний корень.

Ответ: 1.

Дано уравнение $\sqrt{x} \cdot \sqrt{36 - 2x} = 4x$.

Найдем ОДЗ из условий неотрицательности подкоренных выражений:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 36 - 2x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ 36 \ge 2x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ 18 \ge x \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, 18]$.

Заметим, что левая часть уравнения неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $4x \ge 0$, что дает $x \ge 0$. Это условие уже входит в ОДЗ.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x} \cdot \sqrt{36 - 2x})^2 = (4x)^2$

$x(36 - 2x) = 16x^2$

$36x - 2x^2 = 16x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$18x^2 - 36x = 0$

Вынесем общий множитель $18x$ за скобку:

$18x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$18x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Проверим оба корня на принадлежность ОДЗ ($x \in [0, 18]$):

• $x_1 = 0$: $0 \in [0, 18]$ (верно).
• $x_2 = 2$: $2 \in [0, 18]$ (верно).

Оба корня подходят.

Ответ: 0; 2.

Дано уравнение $\frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} = \sqrt{3x + 4}$.

Найдем ОДЗ. Выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля, а подкоренное выражение в правой части — неотрицательным:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 3x + 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ 3x \ge -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x \ge -\frac{4}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > -1$.

В области ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

$\left(\frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}}\right)^2 = (\sqrt{3x + 4})^2$

$\frac{(x + 2)^2}{x + 1} = 3x + 4$

Умножим обе части на $(x + 1)$, так как в ОДЗ $x + 1 \neq 0$:

$(x + 2)^2 = (3x + 4)(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 3x + 4x + 4$

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 7x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобку:

$x(2x + 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_2 = -1,5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):

• $x_1 = 0$: $0 > -1$ (верно), корень подходит.
• $x_2 = -1,5$: $-1,5 > -1$ (неверно), это посторонний корень.

Ответ: 0.