Номер 126, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0;$

2) $3\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 2 = 0;$

3) $x - 9\sqrt[3]{x} = 0;$

4) $\sqrt{x + 2} = 2\sqrt[4]{x + 2} + 3;$

5) $\sqrt[3]{9 - 6x + x^2} - \sqrt[3]{3 - x} - 2 = 0.$

1) $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение: $t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $t_1 + t_2 = 5$
$t_1 \cdot t_2 = 6$
Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену:
1. $\sqrt[4]{x} = 2 \implies x = 2^4 \implies x = 16$.
2. $\sqrt[4]{x} = 3 \implies x = 3^4 \implies x = 81$.

Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 16; 81.

2) $3\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 2 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия $\sqrt[6]{x}$).
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение: $3t^2 + 5t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$
$t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию. Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{3} \implies x = (\frac{1}{3})^6 \implies x = \frac{1}{729}$.

Значение $x$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{729}$.

3) $x - 9\sqrt[3]{x} = 0$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (корень нечетной степени определен для любых чисел).
Заметим, что $x = (\sqrt[3]{x})^3$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{x}$.

Подставим новую переменную в уравнение: $t^3 - 9t = 0$

Вынесем $t$ за скобки: $t(t^2 - 9) = 0$
$t(t-3)(t+3) = 0$
Отсюда $t_1 = 0$, $t_2 = 3$, $t_3 = -3$.

Выполним обратную замену:
1. $\sqrt[3]{x} = 0 \implies x = 0^3 \implies x = 0$.
2. $\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 \implies x = 27$.
3. $\sqrt[3]{x} = -3 \implies x = (-3)^3 \implies x = -27$.

Ответ: -27; 0; 27.

4) $\sqrt{x+2} = 2\sqrt[4]{x+2} + 3$

Перенесем все члены в левую часть: $\sqrt{x+2} - 2\sqrt[4]{x+2} - 3 = 0$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Заметим, что $\sqrt{x+2} = (\sqrt[4]{x+2})^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[4]{x+2}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение: $t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию. Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x+2} = 3 \implies x+2 = 3^4 \implies x+2 = 81 \implies x = 79$.

Значение $x = 79$ удовлетворяет ОДЗ ($79 \ge -2$).

Ответ: 79.

5) $\sqrt[3]{9-6x+x^2} - \sqrt[3]{3-x} - 2 = 0$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Заметим, что подкоренное выражение $9-6x+x^2$ является полным квадратом: $(3-x)^2$. Уравнение принимает вид: $\sqrt[3]{(3-x)^2} - \sqrt[3]{3-x} - 2 = 0$

Его можно переписать как: $(\sqrt[3]{3-x})^2 - \sqrt[3]{3-x} - 2 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{3-x}$.

Подставим новую переменную в уравнение: $t^2 - t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:
1. $\sqrt[3]{3-x} = 2 \implies 3-x = 2^3 \implies 3-x = 8 \implies x = -5$.
2. $\sqrt[3]{3-x} = -1 \implies 3-x = (-1)^3 \implies 3-x = -1 \implies x = 4$.

Ответ: -5; 4.