Номер 133, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3} = \sqrt{x-6}$;

2) $\sqrt{x-4} = \sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1}$;

3) $\sqrt{x-7} = \sqrt{2x-3} - \sqrt{x+4}$.

1) $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3} = \sqrt{x-6}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:
$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
$x-6 \ge 0 \implies x \ge 6$
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.

При $x \ge 6$ левая часть уравнения $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3}$ положительна, так как $x+2 > x-3$, а правая часть $\sqrt{x-6}$ также неотрицательна. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{x-6})^2$
$(x+2) - 2\sqrt{(x+2)(x-3)} + (x-3) = x-6$
$2x - 1 - 2\sqrt{x^2 - x - 6} = x-6$

Уединим радикал в одной части уравнения:
$2x - 1 - x + 6 = 2\sqrt{x^2 - x - 6}$
$x + 5 = 2\sqrt{x^2 - x - 6}$

Поскольку согласно ОДЗ $x \ge 6$, обе части уравнения $(x+5$ и $2\sqrt{...})$ положительны. Снова возведем обе части в квадрат:
$(x+5)^2 = (2\sqrt{x^2 - x - 6})^2$
$x^2 + 10x + 25 = 4(x^2 - x - 6)$
$x^2 + 10x + 25 = 4x^2 - 4x - 24$
$3x^2 - 14x - 49 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-49) = 196 + 588 = 784 = 28^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 28}{2 \cdot 3}$
$x_1 = \frac{14 + 28}{6} = \frac{42}{6} = 7$
$x_2 = \frac{14 - 28}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 6$).
Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 6$.
Корень $x_2 = -7/3$ не удовлетворяет условию, так как $-7/3 < 6$.
Выполним проверку для $x=7$ подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{7+2} - \sqrt{7-3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3-2=1$ и $\sqrt{7-6} = \sqrt{1} = 1$. Равенство $1=1$ верно.
Ответ: 7

2) $\sqrt{x-4} = \sqrt{x-3} - \sqrt{2x-1}$

Найдем ОДЗ:
$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$
$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
$2x-1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 4$.

Перепишем уравнение, чтобы в каждой части были положительные слагаемые:
$\sqrt{x-4} + \sqrt{2x-1} = \sqrt{x-3}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-4} + \sqrt{2x-1})^2 = (\sqrt{x-3})^2$
$(x-4) + 2\sqrt{(x-4)(2x-1)} + (2x-1) = x-3$
$3x - 5 + 2\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = x-3$

Уединим радикал:
$2\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = (x - 3) - (3x - 5)$
$2\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = -2x + 2$
$\sqrt{2x^2 - 9x + 4} = 1 - x$

Левая часть уравнения по определению арифметического квадратного корня неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:
$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.
Мы получили два условия для $x$: $x \ge 4$ (из ОДЗ) и $x \le 1$. Эти условия противоречат друг другу, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 4 и меньше или равно 1.
Следовательно, уравнение не имеет решений в действительных числах.
Ответ: нет корней

3) $\sqrt{x-7} = \sqrt{2x-3} - \sqrt{x+4}$

Найдем ОДЗ:
$x-7 \ge 0 \implies x \ge 7$
$2x-3 \ge 0 \implies x \ge 1.5$
$x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 7$.

Перенесем слагаемое, чтобы в обеих частях были суммы:
$\sqrt{x-7} + \sqrt{x+4} = \sqrt{2x-3}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-7} + \sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{2x-3})^2$
$(x-7) + 2\sqrt{(x-7)(x+4)} + (x+4) = 2x-3$
$2x - 3 + 2\sqrt{x^2 - 3x - 28} = 2x-3$

Упростим уравнение, вычитая $2x-3$ из обеих частей:
$2\sqrt{x^2 - 3x - 28} = 0$
$\sqrt{x^2 - 3x - 28} = 0$
Возведя в квадрат, получаем:
$x^2 - 3x - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -28. Этим условиям удовлетворяют числа 7 и -4.
$x_1 = 7$, $x_2 = -4$.
Можно также решить через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$
$x_{1,2} = \frac{3 \pm 11}{2}$
$x_1 = \frac{3+11}{2} = 7$
$x_2 = \frac{3-11}{2} = -4$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 7$).
Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 7$.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 7$.
Проверка для $x=7$: $\sqrt{7-7} = 0$; $\sqrt{2(7)-3} - \sqrt{7+4} = \sqrt{14-3} - \sqrt{11} = \sqrt{11} - \sqrt{11} = 0$. Равенство $0=0$ верно.
Ответ: 7