Номер 136, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+18} < 2-x;$

2) $\sqrt{2x-3} < x-3;$

3) $\sqrt{2x-x^2} \le 5-x;$

4) $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3.$

1) $\sqrt{x+18} < 2-x$

Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как левая часть (квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть строго положительной:

$\begin{cases} x+18 \ge 0, \\ 2-x > 0, \\ (\sqrt{x+18})^2 < (2-x)^2. \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $x+18 \ge 0 \implies x \ge -18$.

2. $2-x > 0 \implies x < 2$.

3. $x+18 < (2-x)^2 \implies x+18 < 4 - 4x + x^2 \implies x^2 - 5x - 14 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 7$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 5x - 14 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in [-18, \infty)$, $x \in (-\infty, 2)$ и $x \in (-\infty, -2) \cup (7, \infty)$.
На числовой оси это будет пересечение интервалов $[-18, 2)$ и $(-\infty, -2) \cup (7, \infty)$, что дает интервал $[-18, -2)$.

Ответ: $x \in [-18, -2)$.

2) $\sqrt{2x-3} < x-3$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x-3 \ge 0, \\ x-3 > 0, \\ (\sqrt{2x-3})^2 < (x-3)^2. \end{cases}$

Решим систему:

1. $2x-3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$.

2. $x-3 > 0 \implies x > 3$.

3. $2x-3 < x^2 - 6x + 9 \implies x^2 - 8x + 12 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty)$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \ge 1.5$, $x > 3$ и $x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty)$.
Из первых двух условий следует, что $x > 3$.
Пересекая интервал $(3, \infty)$ с множеством $(-\infty, 2) \cup (6, \infty)$, получаем $x \in (6, \infty)$.

Ответ: $x \in (6, \infty)$.

3) $\sqrt{2x-x^2} \le 5-x$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x-x^2 \ge 0, \\ 5-x \ge 0, \\ (\sqrt{2x-x^2})^2 \le (5-x)^2. \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $2x-x^2 \ge 0 \implies x(2-x) \ge 0$.
Корни уравнения $x(2-x) = 0$ равны $x=0$ и $x=2$. Ветви параболы $y = -x^2+2x$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [0, 2]$.

2. $5-x \ge 0 \implies x \le 5$.

3. $2x-x^2 \le 25 - 10x + x^2 \implies 2x^2 - 12x + 25 \ge 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 12x + 25$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 25 = 144 - 200 = -56$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, трехчлен положителен при любых действительных значениях $x$. Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in [0, 2]$, $x \in (-\infty, 5]$ и $x \in (-\infty, \infty)$.
Пересечением этих множеств является отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

4) $\sqrt{2x^2-11x+9} \le x-3$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x^2-11x+9 \ge 0, \\ x-3 \ge 0, \\ (\sqrt{2x^2-11x+9})^2 \le (x-3)^2. \end{cases}$

Решим поочередно каждое неравенство:

1. $2x^2-11x+9 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2-11x+9 = 0$.
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{11-7}{4} = 1$.
$x_2 = \frac{11+7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [4.5, \infty)$.

2. $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

3. $2x^2-11x+9 \le x^2 - 6x + 9 \implies x^2 - 5x \le 0 \implies x(x-5) \le 0$.
Решение этого неравенства: $x \in [0, 5]$.

Найдем пересечение решений системы: $x \in (-\infty, 1] \cup [4.5, \infty)$, $x \in [3, \infty)$ и $x \in [0, 5]$.
Пересечение первых двух множеств дает $[4.5, \infty)$.
Пересекая $[4.5, \infty)$ с $[0, 5]$, получаем итоговое решение: $[4.5, 5]$.

Ответ: $x \in [4.5, 5]$.