Номер 143, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте точки $P_0(1; 0)$ на угол:

1) $283^\circ$;

2) $-215^\circ$;

3) $420^\circ$;

4) $-53^\circ$;

5) $\frac{\pi}{9}$;

6) $\frac{11\pi}{18}$;

7) $-\frac{4\pi}{3}$;

8) $-2,1\pi$;

9) $3$;

10) $-4$?

Для определения координатной четверти, в которой находится точка на единичной окружности после поворота на заданный угол, необходимо сравнить этот угол с границами четвертей. Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки, начиная от положительного направления оси Ox.
I четверть: от $0°$ до $90°$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)
II четверть: от $90°$ до $180°$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)
III четверть: от $180°$ до $270°$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)
IV четверть: от $270°$ до $360°$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)
Для углов, выходящих за пределы от $0°$ до $360°$ (или от $0$ до $2\pi$), необходимо найти соответствующий им угол в этом диапазоне путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($360°$ или $2\pi$ радиан). Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.

1) 283°
Угол $283°$ находится в промежутке между $270°$ и $360°$.
Так как $270° < 283° < 360°$, точка находится в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

2) -215°
Угол $-215°$ является отрицательным. Чтобы найти соответствующий ему положительный угол, прибавим $360°$:
$-215° + 360° = 145°$.
Угол $145°$ находится в промежутке между $90°$ и $180°$.
Так как $90° < 145° < 180°$, точка находится во II четверти.
Ответ: II четверть.

3) 420°
Угол $420°$ больше $360°$. Чтобы найти угол в пределах одного оборота, вычтем $360°$:
$420° - 360° = 60°$.
Угол $60°$ находится в промежутке между $0°$ и $90°$.
Так как $0° < 60° < 90°$, точка находится в I четверти.
Ответ: I четверть.

4) -53°
Угол $-53°$ является отрицательным. Прибавим $360°$, чтобы найти соответствующий положительный угол:
$-53° + 360° = 307°$.
Угол $307°$ находится в промежутке между $270°$ и $360°$.
Так как $270° < 307° < 360°$, точка находится в IV четверти.
Ответ: IV четверть.

5) $\frac{\pi}{9}$
Угол задан в радианах. Сравним его с границами четвертей в радианах.
I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.
Так как $0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\frac{1}{9} < \frac{1}{2}$), точка находится в I четверти.
Можно также перевести в градусы: $\frac{\pi}{9} = \frac{180°}{9} = 20°$, что очевидно является углом I четверти.
Ответ: I четверть.

6) $\frac{11\pi}{18}$
Угол задан в радианах. Сравним его с границами четвертей: $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.
$\frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{18}$ и $\pi = \frac{18\pi}{18}$.
Так как $\frac{9\pi}{18} < \frac{11\pi}{18} < \frac{18\pi}{18}$, то есть $\frac{\pi}{2} < \frac{11\pi}{18} < \pi$, точка находится во II четверти.
В градусах: $\frac{11\pi}{18} = \frac{11 \cdot 180°}{18} = 11 \cdot 10° = 110°$. Угол $110°$ находится во II четверти.
Ответ: II четверть.

7) $-\frac{4\pi}{3}$
Угол отрицательный. Чтобы найти соответствующий положительный угол, прибавим $2\pi$:
$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Теперь определим четверть для угла $\frac{2\pi}{3}$. Сравним с границами $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$:
$\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$ (поскольку $\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < 1$).
Следовательно, точка находится во II четверти.
В градусах: $\frac{2\pi}{3} = \frac{2 \cdot 180°}{3} = 120°$, что является углом II четверти.
Ответ: II четверть.

8) -2,1$\pi$
Угол $-2,1\pi$ является отрицательным. Прибавим $4\pi$ (два полных оборота), чтобы получить положительный угол в пределах от $0$ до $2\pi$:
$-2,1\pi + 4\pi = 1,9\pi$.
Сравним $1,9\pi$ с границами четвертей: $\frac{3\pi}{2} = 1,5\pi$ и $2\pi$.
Так как $1,5\pi < 1,9\pi < 2\pi$, то есть $\frac{3\pi}{2} < 1,9\pi < 2\pi$, точка находится в IV четверти.
Другой способ: $-2,1\pi = -2\pi - 0,1\pi$. Поворот на $-2\pi$ возвращает точку в исходное положение, а последующий поворот на $-0,1\pi$ (по часовой стрелке) помещает ее в IV четверть.
Ответ: IV четверть.

9) 3
Угол равен 3 радианам. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.
Границы четвертей в радианах: $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14159$.
Сравниваем угол 3 с этими значениями: $1,57 < 3 < 3,14159$.
Следовательно, $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, и точка находится во II четверти.
Ответ: II четверть.

10) -4
Угол равен -4 радианам. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $2\pi$ (один полный оборот):
$-4 + 2\pi \approx -4 + 2 \cdot 3,14159 = -4 + 6,28318 = 2,28318$.
Сравним полученное значение с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$.
Так как $1,57 < 2,28318 < 3,14$, то есть $\frac{\pi}{2} < -4 + 2\pi < \pi$, точка находится во II четверти.
Ответ: II четверть.