Номер 138, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Решите неравенство:

1) $(6 - 7x)\sqrt{x} \ge 0;$

2) $\sqrt[5]{x} + 2\sqrt[10]{x} - 8 \ge 0;$

3) $\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 7} \le 5.$

1) $(6-7x)\sqrt{x} \ge 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как под знаком квадратного корня может быть только неотрицательное число, то $x \ge 0$.

Неравенство представляет собой произведение двух множителей. Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака или один из них равен нулю.

Поскольку при $x \ge 0$ множитель $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен ($\sqrt{x} \ge 0$), мы можем рассмотреть два случая:

а) $\sqrt{x} = 0$, что выполняется при $x=0$. Подстановка в исходное неравенство дает $(6-7 \cdot 0)\sqrt{0} \ge 0$, или $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=0$ — это решение.

б) $\sqrt{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$. В этом случае, чтобы произведение было неотрицательным, второй множитель $(6-7x)$ также должен быть неотрицательным:

$6 - 7x \ge 0$

$6 \ge 7x$

$x \le \frac{6}{7}$

Теперь мы должны учесть все условия для этого случая: $x > 0$ и $x \le \frac{6}{7}$. Это дает нам интервал $(0, \frac{6}{7}]$.

Объединяя решения из обоих случаев (а и б), получаем: $\{0\} \cup (0, \frac{6}{7}] = [0, \frac{6}{7}]$.

Ответ: $[0, \frac{6}{7}]$

2) $\sqrt[5]{x} + 2\sqrt[10]{x} - 8 \ge 0$

ОДЗ определяется наличием корня четной степени $\sqrt[10]{x}$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2$. Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[10]{x}$. Поскольку $x \ge 0$, то $t \ge 0$.

После замены исходное неравенство превращается в квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 + 2t - 8 \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.

Графиком функции $y=t^2 + 2t - 8$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции неотрицательны при $t \le -4$ или $t \ge 2$.

Учитывая наше ограничение $t \ge 0$, из найденных решений подходит только $t \ge 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[10]{x} \ge 2$

Возведем обе части неравенства в 10-ю степень. Так как обе части неотрицательны и степень четная, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[10]{x})^{10} \ge 2^{10}$

$x \ge 1024$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $[1024, +\infty)$

3) $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+7} \le 5$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge -7 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge -2$, то есть $x \in [-2, +\infty)$.

Левая часть неравенства, функция $f(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{x+7}$, является возрастающей на всей области определения как сумма двух возрастающих функций.

Найдем значение $x$, при котором достигается равенство: $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+7} = 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат (обе части неотрицательны на ОДЗ):

$(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+7})^2 = 5^2$

$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(x+7)} + (x+7) = 25$

$2x + 9 + 2\sqrt{x^2+9x+14} = 25$

$2\sqrt{x^2+9x+14} = 16 - 2x$

$\sqrt{x^2+9x+14} = 8 - x$

Правая часть должна быть неотрицательной: $8-x \ge 0$, то есть $x \le 8$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$x^2+9x+14 = (8-x)^2$

$x^2+9x+14 = 64 - 16x + x^2$

$25x = 50$

$x = 2$

Найденный корень $x=2$ удовлетворяет и ОДЗ ($2 \ge -2$) и дополнительному условию ($2 \le 8$).

Итак, равенство $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+7} = 5$ достигается при $x=2$.

Поскольку функция $f(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{x+7}$ возрастающая, неравенство $f(x) \le 5$ будет выполняться для всех $x$ из ОДЗ, которые не превышают $2$, то есть $x \le 2$.

Совмещая это условие с ОДЗ ($x \ge -2$), получаем окончательное решение: $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $[-2, 2]$