Номер 139, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $a\sqrt{x+1} < 1;$

2) $(a-1)\sqrt{3-x} \ge 1.$

1) $a\sqrt{x+1} < 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Решение неравенства зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a > 0$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $a$, знак неравенства при этом не изменится:

$\sqrt{x+1} < \frac{1}{a}$

Так как обе части неравенства неотрицательны ($\sqrt{x+1} \ge 0$ и $\frac{1}{a} > 0$), мы можем возвести их в квадрат:

$x+1 < \left(\frac{1}{a}\right)^2$

$x+1 < \frac{1}{a^2}$

$x < \frac{1}{a^2} - 1$

Теперь объединим это решение с ОДЗ ($x \ge -1$). Получаем двойное неравенство:

$-1 \le x < \frac{1}{a^2} - 1$.

Случай 2: $a = 0$.

Подставим $a=0$ в исходное неравенство:

$0 \cdot \sqrt{x+1} < 1$

$0 < 1$

Это верное числовое неравенство. Следовательно, при $a=0$ решением является любое значение $x$ из области допустимых значений.

Решение: $x \ge -1$.

Случай 3: $a < 0$.

В этом случае левая часть неравенства, $a\sqrt{x+1}$, всегда неположительна (произведение отрицательного числа $a$ и неотрицательного $\sqrt{x+1}$), то есть $a\sqrt{x+1} \le 0$. Правая часть равна 1. Неравенство $a\sqrt{x+1} < 1$ будет верным для любого $x$ из ОДЗ, так как любое неположительное число всегда меньше 1.

Решение: $x \ge -1$.

Объединяя случаи 2 и 3, получаем, что при $a \le 0$ решением будет $x \ge -1$.

Ответ: если $a \le 0$, то $x \in [-1; +\infty)$; если $a > 0$, то $x \in [-1; \frac{1}{a^2} - 1)$.

2) $(a-1)\sqrt{3-x} \ge 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$3-x \ge 0$, откуда $x \le 3$.

Решение зависит от знака выражения $(a-1)$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a-1 > 0$, то есть $a > 1$.

Разделим обе части неравенства на положительное число $(a-1)$, знак неравенства сохранится:

$\sqrt{3-x} \ge \frac{1}{a-1}$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат:

$3-x \ge \left(\frac{1}{a-1}\right)^2$

$3-x \ge \frac{1}{(a-1)^2}$

$-x \ge \frac{1}{(a-1)^2} - 3$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x \le 3 - \frac{1}{(a-1)^2}$

Данное решение автоматически удовлетворяет ОДЗ ($x \le 3$), поскольку $3 - \frac{1}{(a-1)^2}$ всегда меньше, чем 3.

Случай 2: $a-1 = 0$, то есть $a = 1$.

Подставим $a=1$ в исходное неравенство:

$0 \cdot \sqrt{3-x} \ge 1$

$0 \ge 1$

Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $a=1$ решений нет.

Случай 3: $a-1 < 0$, то есть $a < 1$.

В этом случае множитель $(a-1)$ отрицателен. Левая часть неравенства, $(a-1)\sqrt{3-x}$, является неположительной. Правая часть равна 1. Неположительное число не может быть больше или равно положительному числу 1.

Следовательно, при $a < 1$ решений нет.

Объединяя случаи 2 и 3, получаем, что при $a \le 1$ неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a \le 1$, то решений нет ($x \in \emptyset$); если $a > 1$, то $x \in (-\infty; 3 - \frac{1}{(a-1)^2}]$.