Номер 135, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+5} > \sqrt{8-x}$;

2) $\sqrt{3x-2} < \sqrt{2x-7}$;

3) $\sqrt{x^2-4x+3} < \sqrt{-3-9x}$;

4) $\sqrt{x^2+2x+2} \ge \sqrt{-x^2-3x}$.

1) $\sqrt{x+5} > \sqrt{8-x}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой оба подкоренных выражения неотрицательны, и после возведения в квадрат сохраняется знак неравенства.

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \\ (\sqrt{x+5})^2 > (\sqrt{8-x})^2 \end{cases}$

Так как из неравенства $x+5 > 8-x$ и условия $8-x \ge 0$ автоматически следует, что $x+5 > 0$, то систему можно упростить, оставив только условие неотрицательности для меньшего подкоренного выражения:

$\begin{cases} 8-x \ge 0 \\ x+5 > 8-x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $8-x \ge 0 \implies -x \ge -8 \implies x \le 8$

2) $x+5 > 8-x \implies 2x > 3 \implies x > 1.5$

Объединяя решения, получаем: $1.5 < x \le 8$.

Ответ: $x \in (1.5, 8]$.

2) $\sqrt{3x-2} < \sqrt{2x-7}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренное выражение $f(x)$ должно быть неотрицательным (из этого и второго неравенства будет следовать, что $g(x)$ также положительно) и после возведения в квадрат знак неравенства сохраняется.

$\begin{cases} 3x-2 \ge 0 \\ 3x-2 < 2x-7 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $3x-2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$

2) $3x-2 < 2x-7 \implies 3x-2x < -7+2 \implies x < -5$

Найдём пересечение решений $x \ge \frac{2}{3}$ и $x < -5$. Так как не существует числа, которое одновременно больше или равно $\frac{2}{3}$ и меньше $-5$, то система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) $\sqrt{x^2 - 4x + 3} < \sqrt{-3 - 9x}$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \ge 0 \\ x^2 - 4x + 3 < -3 - 9x \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.

Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y=x^2-4x+3$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, $y \ge 0$ при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 < -3 - 9x$.

$x^2 + 5x + 6 < 0$.
Найдём корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -3$, $x_2 = -2$.
Графиком функции $y=x^2+5x+6$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, $y < 0$ при $x \in (-3, -2)$.

Теперь найдём пересечение решений системы: $x \in ((-\infty, 1] \cup [3, \infty)) \cap (-3, -2)$.

Пересечением является интервал $(-3, -2)$.

Ответ: $x \in (-3, -2)$.

4) $\sqrt{x^2 + 2x + 2} \ge \sqrt{-x^2 - 3x}$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} -x^2 - 3x \ge 0 \\ x^2 + 2x + 2 \ge -x^2 - 3x \end{cases}$

Решим первое неравенство: $-x^2 - 3x \ge 0$.

Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $x^2 + 3x \le 0$.
$x(x+3) \le 0$.
Корни уравнения $x(x+3)=0$: $x_1=0$, $x_2=-3$.
Графиком функции $y=x^2+3x$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, $y \le 0$ при $x \in [-3, 0]$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 2x + 2 \ge -x^2 - 3x$.

$2x^2 + 5x + 2 \ge 0$.
Найдём корни уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$.
$x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Графиком функции $y=2x^2+5x+2$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, $y \ge 0$ при $x \in (-\infty, -2] \cup [-0.5, \infty)$.

Найдём пересечение решений системы: $x \in [-3, 0] \cap ((-\infty, -2] \cup [-0.5, \infty))$.

Пересечение отрезка $[-3, 0]$ с множеством $(-\infty, -2] \cup [-0.5, \infty)$ состоит из двух отрезков: $[-3, -2]$ и $[-0.5, 0]$.

Ответ: $x \in [-3, -2] \cup [-0.5, 0]$.