Номер 130, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Решите уравнение:

1) $\sqrt[10]{3x-1} = \sqrt[14]{0,2-x}$;

2) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2} = \sqrt{6}$;

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{36-2x} = 4x$;

4) $\frac{x+2}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{3x+4}$.

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[10]{3x - 1} = \sqrt[14]{0,2 - x}$.

Поскольку показатели корней (10 и 14) являются четными числами, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 1 \ge 0 \\ 0,2 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

$3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$

$-x \ge -0,2 \implies x \le 0,2$

Таким образом, ОДЗ определяется системой:

$\begin{cases} x \ge \frac{1}{3} \\ x \le 0,2 \end{cases}$

Сравним граничные значения: $\frac{1}{3} \approx 0,333...$ и $0,2$. Очевидно, что $\frac{1}{3} > 0,2$.

Так как не существует числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно $\frac{1}{3}$ и меньше или равно $0,2$, система неравенств не имеет решений. Область допустимых значений является пустым множеством.

Ответ: корней нет.

Дано уравнение $\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x + 2} = \sqrt{6}$.

Найдем ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge -2 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge -1$.

Объединим корни в левой части уравнения, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (применимо, так как $a, b \ge 0$ в ОДЗ):

$\sqrt{(x + 1)(x + 2)} = \sqrt{6}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знаков корня:

$(x + 1)(x + 2) = 6$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 2x + x + 2 = 6$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -3, произведение равно -4. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge -1$):

• $x_1 = 1$: $1 \ge -1$ (верно), корень подходит.
• $x_2 = -4$: $-4 \ge -1$ (неверно), это посторонний корень.

Ответ: 1.

Дано уравнение $\sqrt{x} \cdot \sqrt{36 - 2x} = 4x$.

Найдем ОДЗ из условий неотрицательности подкоренных выражений:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 36 - 2x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ 36 \ge 2x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ 18 \ge x \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, 18]$.

Заметим, что левая часть уравнения неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $4x \ge 0$, что дает $x \ge 0$. Это условие уже входит в ОДЗ.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x} \cdot \sqrt{36 - 2x})^2 = (4x)^2$

$x(36 - 2x) = 16x^2$

$36x - 2x^2 = 16x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$18x^2 - 36x = 0$

Вынесем общий множитель $18x$ за скобку:

$18x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$18x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Проверим оба корня на принадлежность ОДЗ ($x \in [0, 18]$):

• $x_1 = 0$: $0 \in [0, 18]$ (верно).
• $x_2 = 2$: $2 \in [0, 18]$ (верно).

Оба корня подходят.

Ответ: 0; 2.

Дано уравнение $\frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} = \sqrt{3x + 4}$.

Найдем ОДЗ. Выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля, а подкоренное выражение в правой части — неотрицательным:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 3x + 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ 3x \ge -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x \ge -\frac{4}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > -1$.

В области ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

$\left(\frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}}\right)^2 = (\sqrt{3x + 4})^2$

$\frac{(x + 2)^2}{x + 1} = 3x + 4$

Умножим обе части на $(x + 1)$, так как в ОДЗ $x + 1 \neq 0$:

$(x + 2)^2 = (3x + 4)(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 3x + 4x + 4$

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 7x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобку:

$x(2x + 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$2x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x_2 = -1,5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):

• $x_1 = 0$: $0 > -1$ (верно), корень подходит.
• $x_2 = -1,5$: $-1,5 > -1$ (неверно), это посторонний корень.

Ответ: 0.