Номер 125, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(3x - 5)(x - 1)} = x - 1;$

2) $(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x - 24.$

1) $\sqrt{(3x - 5)(x - 1)} = x - 1$

Данное уравнение является иррациональным. Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Применительно к нашему уравнению система будет выглядеть так:

$\begin{cases} (3x-5)(x-1) = (x-1)^2 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство, чтобы определить область допустимых значений для $x$:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Теперь решим уравнение. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(3x - 5)(x - 1) - (x - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1) \cdot ((3x - 5) - (x - 1)) = 0$

$(x - 1) \cdot (3x - 5 - x + 1) = 0$

$(x - 1) \cdot (2x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 1 = 0$ или $2x - 4 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 1$.

Из второго уравнения: $2x = 4 \implies x_2 = 2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 1$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge 1$.

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge 1$.

Следовательно, оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; 2$.

2) $(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x - 24$

Сначала преобразуем правую часть уравнения, вынеся общий множитель за скобки:

$6x - 24 = 6(x - 4)$

Теперь уравнение имеет вид:

$(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6(x - 4)$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(x - 4)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

2) $\sqrt{x^2 - x - 20} - 6 = 0 \implies \sqrt{x^2 - x - 20} = 6$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - x - 20 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 20$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 20 \ge 0$ выполняется при $x \le -4$ или $x \ge 5$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Теперь проверим найденные корни.

Для корня $x = 4$: он не принадлежит ОДЗ, так как не удовлетворяет ни условию $x \le -4$, ни условию $x \ge 5$. Следовательно, $x=4$ является посторонним корнем.

Теперь решим второе уравнение:

$\sqrt{x^2 - x - 20} = 6$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 - x - 20 = 36$

$x^2 - x - 56 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -56$

Отсюда находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ:

Корень $x = 8$ принадлежит ОДЗ, так как $8 \ge 5$.

Корень $x = -7$ принадлежит ОДЗ, так как $-7 \le -4$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 8$.