Номер 120, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $3a^{\frac{1}{4}} + a;$

2) $x^{\frac{3}{7}}y - y^{\frac{3}{7}}x;$

3) $14^{\frac{3}{4}} + 21^{\frac{3}{4}};$

4) $8m^{\frac{5}{7}} + 12m^{\frac{3}{14}};$

5) $n^{\frac{1}{6}} + 6n^{\frac{1}{7}};$

6) $a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}} + ab + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{1}{5}}.$

1) В выражении $3a^{\frac{1}{4}} + a$ представим второй член как $a^1$. Общий множитель для переменной $a$ будет $a$ в наименьшей степени. Сравнивая степени $\frac{1}{4}$ и $1$, видим, что наименьшая степень - это $\frac{1}{4}$. Таким образом, общий множитель - $a^{\frac{1}{4}}$. Вынесем его за скобки:
$3a^{\frac{1}{4}} + a = a^{\frac{1}{4}}(\frac{3a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}} + \frac{a^1}{a^{\frac{1}{4}}}) = a^{\frac{1}{4}}(3 \cdot a^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} + a^{1-\frac{1}{4}}) = a^{\frac{1}{4}}(3a^0 + a^{\frac{3}{4}}) = a^{\frac{1}{4}}(3 + a^{\frac{3}{4}})$.
Ответ: $a^{\frac{1}{4}}(3 + a^{\frac{3}{4}})$

2) В выражении $x^{\frac{3}{7}}y - y^{\frac{3}{7}}x$ найдем общий множитель для каждой переменной. Для $x$ наименьшая степень из $\frac{3}{7}$ и $1$ - это $\frac{3}{7}$. Для $y$ наименьшая степень из $1$ и $\frac{3}{7}$ - это $\frac{3}{7}$. Таким образом, общий множитель - $x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}$. Вынесем его за скобки:
$x^{\frac{3}{7}}y - y^{\frac{3}{7}}x = x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}(\frac{x^{\frac{3}{7}}y^1}{x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}} - \frac{y^{\frac{3}{7}}x^1}{x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}}) = x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}(y^{1-\frac{3}{7}} - x^{1-\frac{3}{7}}) = x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}(y^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{4}{7}})$.
Ответ: $x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}(y^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{4}{7}})$

3) В выражении $14^{\frac{3}{4}} + 21^{\frac{3}{4}}$ разложим основания на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$ и $21 = 3 \cdot 7$. Выражение примет вид: $(2 \cdot 7)^{\frac{3}{4}} + (3 \cdot 7)^{\frac{3}{4}}$. Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $2^{\frac{3}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}} + 3^{\frac{3}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}$. Общим множителем является $7^{\frac{3}{4}}$. Вынесем его за скобки:
$7^{\frac{3}{4}}(2^{\frac{3}{4}} + 3^{\frac{3}{4}})$.
Ответ: $7^{\frac{3}{4}}(2^{\frac{3}{4}} + 3^{\frac{3}{4}})$

4) В выражении $8m^{\frac{5}{7}} + 12m^{\frac{3}{14}}$ найдем общий множитель для коэффициентов и для переменной. Наибольший общий делитель для 8 и 12 равен 4. Для переменной $m$ найдем наименьшую степень, сравнивая $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{14}$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$. Так как $\frac{3}{14} < \frac{10}{14}$, наименьшая степень равна $\frac{3}{14}$. Общий множитель - $4m^{\frac{3}{14}}$. Вынесем его за скобки:
$8m^{\frac{5}{7}} + 12m^{\frac{3}{14}} = 4m^{\frac{3}{14}}(\frac{8m^{\frac{10}{14}}}{4m^{\frac{3}{14}}} + \frac{12m^{\frac{3}{14}}}{4m^{\frac{3}{14}}}) = 4m^{\frac{3}{14}}(2m^{\frac{10}{14}-\frac{3}{14}} + 3) = 4m^{\frac{3}{14}}(2m^{\frac{7}{14}} + 3) = 4m^{\frac{3}{14}}(2m^{\frac{1}{2}} + 3)$.
Ответ: $4m^{\frac{3}{14}}(2m^{\frac{1}{2}} + 3)$

5) В выражении $n^{\frac{1}{6}} + 6n^{\frac{1}{7}}$ общим множителем для коэффициентов является 1. Для переменной $n$ найдем наименьшую степень, сравнивая $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{7}$. Приведем к общему знаменателю 42: $\frac{1}{6} = \frac{7}{42}$ и $\frac{1}{7} = \frac{6}{42}$. Так как $\frac{6}{42} < \frac{7}{42}$, наименьшая степень равна $\frac{1}{7}$. Общий множитель - $n^{\frac{1}{7}}$. Вынесем его за скобки:
$n^{\frac{1}{6}} + 6n^{\frac{1}{7}} = n^{\frac{1}{7}}(\frac{n^{\frac{1}{6}}}{n^{\frac{1}{7}}} + \frac{6n^{\frac{1}{7}}}{n^{\frac{1}{7}}}) = n^{\frac{1}{7}}(n^{\frac{1}{6}-\frac{1}{7}} + 6) = n^{\frac{1}{7}}(n^{\frac{7-6}{42}} + 6) = n^{\frac{1}{7}}(n^{\frac{1}{42}} + 6)$.
Ответ: $n^{\frac{1}{7}}(n^{\frac{1}{42}} + 6)$

6) В выражении $a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}} + ab + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{1}{5}}$ найдем общий множитель для каждой переменной. Для переменной $a$ сравниваем степени $\frac{2}{9}$, $1$ и $\frac{7}{9}$. Наименьшая степень - $\frac{2}{9}$. Для переменной $b$ сравниваем степени $\frac{3}{5}$, $1$ и $\frac{1}{5}$. Наименьшая степень - $\frac{1}{5}$. Общий множитель - $a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}$. Вынесем его за скобки:
$a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}} + a^1b^1 + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(\frac{a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}} + \frac{a^1b^1}{a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}} + \frac{a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{1}{5}}}{a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}})$
$= a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(a^{\frac{2}{9}-\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}-\frac{1}{5}} + a^{1-\frac{2}{9}}b^{1-\frac{1}{5}} + a^{\frac{7}{9}-\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}-\frac{1}{5}})$
$= a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(a^0 b^{\frac{2}{5}} + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{4}{5}} + a^{\frac{5}{9}}b^0)$
$= a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{2}{5}} + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{4}{5}} + a^{\frac{5}{9}})$.
Ответ: $a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{2}{5}} + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{4}{5}} + a^{\frac{5}{9}})$