Номер 117, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Найдите значение выражения:

1) $3^{3,6} \cdot 3^{-1,2} \cdot 3^{1,6};$

2) $(5^{-0,8})^7 : 5^{-2,6};$

3) $(6^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} \cdot 36^{1,1};$

4) $81^{-1,25} \cdot 9^{1,5} \cdot 27^{\frac{2}{3}};$

5) $\left(\frac{7^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}}}{14^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}}\right)^{-1,5}.$

1) $3^{3,6} \cdot 3^{-1,2} \cdot 3^{1,6}$
Для решения используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это свойство, мы складываем показатели степеней:
$3^{3,6} \cdot 3^{-1,2} \cdot 3^{1,6} = 3^{3,6 + (-1,2) + 1,6} = 3^{3,6 - 1,2 + 1,6} = 3^{2,4 + 1,6} = 3^4$
Вычисляем полученное значение:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
Ответ: 81.

2) $(5^{-0,8})^7 : 5^{-2,6}$
Сначала используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(5^{-0,8})^7 = 5^{-0,8 \cdot 7} = 5^{-5,6}$
Далее используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5^{-5,6} : 5^{-2,6} = 5^{-5,6 - (-2,6)} = 5^{-5,6 + 2,6} = 5^{-3}$
Вычисляем результат:
$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
Ответ: $\frac{1}{125}$.

3) $(6^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} \cdot 36^{1,1}$
Упростим первый множитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(6^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} = 6^{-\frac{4}{11} \cdot \frac{11}{20}} = 6^{-\frac{4}{20}} = 6^{-\frac{1}{5}}$
Преобразуем второй множитель, представив основание 36 как $6^2$:
$36^{1,1} = (6^2)^{1,1} = 6^{2 \cdot 1,1} = 6^{2,2}$
Теперь перемножим полученные степени. Для удобства представим $-\frac{1}{5}$ в виде десятичной дроби $-0,2$ и воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$6^{-0,2} \cdot 6^{2,2} = 6^{-0,2 + 2,2} = 6^2 = 36$
Ответ: 36.

4) $81^{-1,25} \cdot 9^{1,5} \cdot 27^{\frac{2}{3}}$
Представим все основания (81, 9, 27) как степени числа 3:
$81 = 3^4$
$9 = 3^2$
$27 = 3^3$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(3^4)^{-1,25} \cdot (3^2)^{1,5} \cdot (3^3)^{\frac{2}{3}}$
Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю:
$3^{4 \cdot (-1,25)} \cdot 3^{2 \cdot 1,5} \cdot 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^{-5} \cdot 3^3 \cdot 3^2$
Сложим показатели степеней:
$3^{-5+3+2} = 3^0 = 1$
Ответ: 1.

5) $(\frac{7^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{14^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}})^{-1,5}$
Сначала упростим выражение в скобках. В знаменателе представим $14^{\frac{2}{3}}$ как $(7 \cdot 2)^{\frac{2}{3}} = 7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$:
$\frac{7^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}}$
Сократим общий множитель $2^{\frac{2}{3}}$ в числителе и знаменателе:
$\frac{7^{-\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}}$
Теперь применим свойства деления и умножения степеней:
$\frac{7^{-\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3^{-\frac{4}{3}}} = 7^{-\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 7^{-\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}$
Используем свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$ в обратном порядке: $a^n \cdot b^{-n} = (\frac{a}{b})^n$
$7^{-\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = (\frac{3}{7})^{\frac{4}{3}}$
Теперь возведем полученное выражение в степень $-1,5 = -\frac{3}{2}$:
$((\frac{3}{7})^{\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{3}{7})^{\frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{2})} = (\frac{3}{7})^{-\frac{12}{6}} = (\frac{3}{7})^{-2}$
Вычисляем финальное значение:
$(\frac{3}{7})^{-2} = (\frac{7}{3})^2 = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9}$
Ответ: $\frac{49}{9}$.