Номер 115, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Известно, что $a$ — положительное число. Представьте выражение в виде: а) квадрата; б) куба; в) девятой степени:

1) $a^{18}$;

2) $a^{-24}$;

3) $a^{\frac{1}{3}};$

4) $a^{3,6};$

5) $a^{-1\frac{3}{8}}.$

Для представления выражения вида $a^p$ в виде некоторой степени $n$, то есть в виде $(a^k)^n$, используется свойство возведения степени в степень: $(a^k)^n = a^{k \cdot n}$. Из этого следует, что $p = k \cdot n$, а значит, показатель степени нового основания $k$ можно найти, разделив исходный показатель $p$ на $n$: $k = \frac{p}{n}$.

В данной задаче нам нужно представить выражения в виде:

• квадрата (второй степени), значит $n=2$;
• куба (третьей степени), значит $n=3$;
• девятой степени, значит $n=9$.

Применим это правило к каждому из данных выражений.

1) $a^{18}$

а) квадрата
Делим показатель степени 18 на 2: $18 \div 2 = 9$.
Следовательно, $a^{18} = (a^9)^2$.
Ответ: $(a^9)^2$

б) куба
Делим показатель степени 18 на 3: $18 \div 3 = 6$.
Следовательно, $a^{18} = (a^6)^3$.
Ответ: $(a^6)^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени 18 на 9: $18 \div 9 = 2$.
Следовательно, $a^{18} = (a^2)^9$.
Ответ: $(a^2)^9$

2) $a^{-24}$

а) квадрата
Делим показатель степени -24 на 2: $-24 \div 2 = -12$.
Следовательно, $a^{-24} = (a^{-12})^2$.
Ответ: $(a^{-12})^2$

б) куба
Делим показатель степени -24 на 3: $-24 \div 3 = -8$.
Следовательно, $a^{-24} = (a^{-8})^3$.
Ответ: $(a^{-8})^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени -24 на 9: $-24 \div 9 = -\frac{24}{9} = -\frac{8}{3}$.
Следовательно, $a^{-24} = (a^{-\frac{8}{3}})^9$.
Ответ: $(a^{-\frac{8}{3}})^9$

3) $a^{\frac{1}{3}}$

а) квадрата
Делим показатель степени $\frac{1}{3}$ на 2: $\frac{1}{3} \div 2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
Следовательно, $a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{6}})^2$

б) куба
Делим показатель степени $\frac{1}{3}$ на 3: $\frac{1}{3} \div 3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
Следовательно, $a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{9}})^3$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{9}})^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени $\frac{1}{3}$ на 9: $\frac{1}{3} \div 9 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$.
Следовательно, $a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{27}})^9$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{27}})^9$

4) $a^{3,6}$

а) квадрата
Делим показатель степени 3,6 на 2: $3,6 \div 2 = 1,8$.
Следовательно, $a^{3,6} = (a^{1,8})^2$.
Ответ: $(a^{1,8})^2$

б) куба
Делим показатель степени 3,6 на 3: $3,6 \div 3 = 1,2$.
Следовательно, $a^{3,6} = (a^{1,2})^3$.
Ответ: $(a^{1,2})^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени 3,6 на 9: $3,6 \div 9 = 0,4$.
Следовательно, $a^{3,6} = (a^{0,4})^9$.
Ответ: $(a^{0,4})^9$

5) $a^{-1\frac{3}{8}}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-1\frac{3}{8} = -\frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{11}{8}$.

а) квадрата
Делим показатель степени $-\frac{11}{8}$ на 2: $-\frac{11}{8} \div 2 = -\frac{11}{8} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{11}{16}$.
Следовательно, $a^{-\frac{11}{8}} = (a^{-\frac{11}{16}})^2$.
Ответ: $(a^{-\frac{11}{16}})^2$

б) куба
Делим показатель степени $-\frac{11}{8}$ на 3: $-\frac{11}{8} \div 3 = -\frac{11}{8} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{11}{24}$.
Следовательно, $a^{-\frac{11}{8}} = (a^{-\frac{11}{24}})^3$.
Ответ: $(a^{-\frac{11}{24}})^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени $-\frac{11}{8}$ на 9: $-\frac{11}{8} \div 9 = -\frac{11}{8} \cdot \frac{1}{9} = -\frac{11}{72}$.
Следовательно, $a^{-\frac{11}{8}} = (a^{-\frac{11}{72}})^9$.
Ответ: $(a^{-\frac{11}{72}})^9$