Номер 111, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Замените арифметический корень степенью с дробным показателем:

1) $\sqrt[3]{x}$;

2) $\sqrt[5]{y^3}$;

3) $\sqrt[7]{3b}$;

4) $\sqrt[3]{7^{-5}}$;

5) $\sqrt[11]{(a + b)^4}$;

6) $\sqrt[11]{a^4 + b^4}$.

Для замены арифметического корня степенью с дробным показателем используется общее правило: корень n-й степени из числа a в степени m равен числу a в степени m/n. Математически это записывается так:

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

где $n$ – показатель корня, а $m$ – показатель степени подкоренного выражения.

1)

В выражении $\sqrt[3]{x}$ показатель корня $n = 3$. Подкоренное выражение $x$ находится в первой степени, то есть $x = x^1$, значит, показатель степени $m = 1$.
Применяя формулу, получаем:
$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
Ответ: $x^{\frac{1}{3}}$

2)

В выражении $\sqrt[5]{y^3}$ показатель корня $n = 5$, а показатель степени подкоренного выражения $m = 3$.
Следовательно:
$\sqrt[5]{y^3} = y^{\frac{3}{5}}$
Ответ: $y^{\frac{3}{5}}$

3)

В выражении $\sqrt[7]{3b}$ показатель корня $n = 7$. Подкоренное выражение $(3b)$ можно представить как $(3b)^1$, поэтому $m = 1$.
Таким образом:
$\sqrt[7]{3b} = (3b)^{\frac{1}{7}}$
Ответ: $(3b)^{\frac{1}{7}}$

4)

В выражении $\sqrt[3]{7^{-5}}$ показатель корня $n = 3$, а показатель степени подкоренного выражения $m = -5$.
Применяем формулу:
$\sqrt[3]{7^{-5}} = 7^{\frac{-5}{3}} = 7^{-\frac{5}{3}}$
Ответ: $7^{-\frac{5}{3}}$

5)

В выражении $\sqrt[11]{(a+b)^4}$ показатель корня $n = 11$. Основанием степени является все выражение в скобках $(a+b)$, а его показатель $m = 4$.
Получаем:
$\sqrt[11]{(a+b)^4} = (a+b)^{\frac{4}{11}}$
Ответ: $(a+b)^{\frac{4}{11}}$

6)

В выражении $\sqrt[11]{a^4+b^4}$ показатель корня $n = 11$. Подкоренным выражением является вся сумма $a^4+b^4$. Эту сумму можно рассматривать как выражение в первой степени: $(a^4+b^4)^1$. Значит, $m = 1$.
Следовательно:
$\sqrt[11]{a^4+b^4} = (a^4+b^4)^{\frac{1}{11}}$
Ответ: $(a^4+b^4)^{\frac{1}{11}}$