Номер 114, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Упростите выражение:

1) $x^{-1,3} \cdot x^{2,5}$;

2) $x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}};$

3) $(x^{-6})^{0,6};$

4) $x^{\frac{4}{7}} \cdot x^{\frac{9}{14}} \cdot x^{-\frac{15}{28}};$

5) $(x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}};$

6) $(x^4)^{0,8} \cdot (x^{-1,4})^3 : (x^{-1,5})^6;$

7) $\frac{x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{3}{8}} \cdot x^{\frac{1}{12}}};$

8) $\sqrt[3]{a} \cdot a^{\frac{3}{4}};$

9) $\sqrt[8]{a^5} \cdot a^{-\frac{3}{5}};$

10) $(\sqrt[4]{a^{-3}})^9 \cdot (a^{\frac{8}{9}})^{-\frac{3}{16}}$.

1) Для упрощения выражения $x^{-1,3} \cdot x^{2,5}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$x^{-1,3} \cdot x^{2,5} = x^{-1,3 + 2,5} = x^{1,2}$.
Ответ: $x^{1,2}$

2) Для упрощения выражения $x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).
$x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{7}{12} - \frac{5}{8}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$\frac{7}{12} - \frac{5}{8} = \frac{7 \cdot 2}{24} - \frac{5 \cdot 3}{24} = \frac{14 - 15}{24} = -\frac{1}{24}$.
Таким образом, выражение равно $x^{-\frac{1}{24}}$.
Ответ: $x^{-\frac{1}{24}}$

3) Для упрощения выражения $(x^{-6})^{0,6}$ воспользуемся свойством степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
$(x^{-6})^{0,6} = x^{-6 \cdot 0,6} = x^{-3,6}$.
Ответ: $x^{-3,6}$

4) Для упрощения выражения $x^{\frac{4}{7}} \cdot x^{\frac{9}{14}} \cdot x^{-\frac{15}{28}}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием, сложив их показатели.
$x^{\frac{4}{7} + \frac{9}{14} - \frac{15}{28}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 28:
$\frac{4 \cdot 4}{28} + \frac{9 \cdot 2}{28} - \frac{15}{28} = \frac{16 + 18 - 15}{28} = \frac{19}{28}$.
Таким образом, выражение равно $x^{\frac{19}{28}}$.
Ответ: $x^{\frac{19}{28}}$

5) Для упрощения выражения $(x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}}$ воспользуемся свойством возведения произведения в степень ($(ab)^n = a^n b^n$) и возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
$(x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}} = (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{18}{25}} \cdot (y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{18}{25}} \cdot y^{\frac{2}{9} \cdot \frac{18}{25}}$.
Вычислим показатели:
Для $x$: $\frac{2}{3} \cdot \frac{18}{25} = \frac{2 \cdot 6}{25} = \frac{12}{25}$.
Для $y$: $\frac{2}{9} \cdot \frac{18}{25} = \frac{2 \cdot 2}{25} = \frac{4}{25}$.
Результат: $x^{\frac{12}{25}} y^{\frac{4}{25}}$.
Ответ: $x^{\frac{12}{25}} y^{\frac{4}{25}}$

6) Упростим выражение $(x^4)^{0,8} \cdot (x^{-1,4})^3 : (x^{-1,5})^6$ пошагово, используя свойства степеней.
1. Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(x^4)^{0,8} = x^{4 \cdot 0,8} = x^{3,2}$.
$(x^{-1,4})^3 = x^{-1,4 \cdot 3} = x^{-4,2}$.
$(x^{-1,5})^6 = x^{-1,5 \cdot 6} = x^{-9}$.
2. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$x^{3,2} \cdot x^{-4,2} : x^{-9}$.
3. Выполним умножение и деление, складывая и вычитая показатели:
$x^{3,2 + (-4,2) - (-9)} = x^{3,2 - 4,2 + 9} = x^{-1 + 9} = x^8$.
Ответ: $x^8$

7) Упростим выражение $\frac{x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{3}{8}} \cdot x^{\frac{1}{12}}}$.
1. Упростим числитель, сложив показатели: $\frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$. Числитель равен $x^{\frac{13}{12}}$.
2. Упростим знаменатель, сложив показатели: $\frac{3}{8} + \frac{1}{12} = \frac{9}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$. Знаменатель равен $x^{\frac{11}{24}}$.
3. Разделим числитель на знаменатель, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:
$x^{\frac{13}{12} - \frac{11}{24}} = x^{\frac{26}{24} - \frac{11}{24}} = x^{\frac{15}{24}}$.
4. Сократим дробь в показателе: $\frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.
Результат: $x^{\frac{5}{8}}$.
Ответ: $x^{\frac{5}{8}}$

8) Упростим выражение $\sqrt[3]{a} \cdot a^{\frac{3}{4}}$.
1. Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$.
2. Выражение примет вид: $a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{3}{4}}$.
3. Сложим показатели степеней: $\frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} = \frac{13}{12}$.
Результат: $a^{\frac{13}{12}}$.
Ответ: $a^{\frac{13}{12}}$

9) Упростим выражение $\sqrt[8]{a^5} \cdot a^{-\frac{3}{5}}$.
1. Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[8]{a^5} = a^{\frac{5}{8}}$.
2. Выражение примет вид: $a^{\frac{5}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{5}}$.
3. Сложим показатели степеней: $\frac{5}{8} + (-\frac{3}{5}) = \frac{5}{8} - \frac{3}{5} = \frac{25}{40} - \frac{24}{40} = \frac{1}{40}$.
Результат: $a^{\frac{1}{40}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{40}}$

10) Упростим выражение $(\sqrt[4]{a^{-3}})^{\frac{4}{9}} \cdot (a^{\frac{8}{9}})^{-\frac{3}{16}}$.
1. Упростим первый множитель: $(\sqrt[4]{a^{-3}})^{\frac{4}{9}} = (a^{-\frac{3}{4}})^{\frac{4}{9}} = a^{-\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}} = a^{-\frac{3}{9}} = a^{-\frac{1}{3}}$.
2. Упростим второй множитель: $(a^{\frac{8}{9}})^{-\frac{3}{16}} = a^{\frac{8}{9} \cdot (-\frac{3}{16})} = a^{-\frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 16}} = a^{-\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2}} = a^{-\frac{1}{6}}$.
3. Перемножим полученные выражения, сложив их показатели: $a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}} = a^{-\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = a^{-\frac{2}{6} - \frac{1}{6}} = a^{-\frac{3}{6}} = a^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{2}}$