Номер 109, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Упростите выражение:

1) $(\sqrt[4]{x} + 5)(\sqrt[4]{x} - 5) - (\sqrt[4]{x} + 6)^2$

2) $\frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{c} - 4} - \frac{\sqrt[6]{c}}{\sqrt[6]{c} - 2}$

3) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab}} + \frac{\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$

4) $\left(\frac{\sqrt[4]{a} + 3}{\sqrt[4]{a} - 3} + \frac{\sqrt[4]{a} - 3}{\sqrt[4]{a} + 3}\right) : \frac{3\sqrt{a} + 27}{9 - \sqrt{a}}$

5) $\frac{5\sqrt[10]{a}}{10\sqrt[10]{a} + 3} + \frac{\sqrt[10]{a} - 6}{3\sqrt[10]{a} + 9} \cdot \frac{135}{6\sqrt[10]{a} - 5\sqrt{a}}$

1) $(\sqrt[4]{x} + 5)(\sqrt[4]{x} - 5) - (\sqrt[4]{x} + 6)^2$
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к первому произведению:
$(\sqrt[4]{x} + 5)(\sqrt[4]{x} - 5) = (\sqrt[4]{x})^2 - 5^2 = \sqrt{x} - 25$.
Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ ко второму выражению:
$(\sqrt[4]{x} + 6)^2 = (\sqrt[4]{x})^2 + 2 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6^2 = \sqrt{x} + 12\sqrt[4]{x} + 36$.
Теперь вычтем второе из первого:
$(\sqrt{x} - 25) - (\sqrt{x} + 12\sqrt[4]{x} + 36) = \sqrt{x} - 25 - \sqrt{x} - 12\sqrt[4]{x} - 36 = -12\sqrt[4]{x} - 61$.
Ответ: $-12\sqrt[4]{x} - 61$.

2) $\frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{c} - 4} - \frac{\sqrt[6]{c}}{\sqrt[6]{c} - 2}$
Введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{c}$, тогда $y^2 = (\sqrt[6]{c})^2 = \sqrt[3]{c}$.
Выражение примет вид:
$\frac{y^2}{y^2 - 4} - \frac{y}{y - 2}$.
Разложим знаменатель первой дроби на множители: $y^2 - 4 = (y-2)(y+2)$.
$\frac{y^2}{(y-2)(y+2)} - \frac{y}{y - 2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(y-2)(y+2)$:
$\frac{y^2}{(y-2)(y+2)} - \frac{y(y+2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y^2 - y(y+2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y^2 - y^2 - 2y}{y^2 - 4} = \frac{-2y}{y^2 - 4}$.
Вернемся к исходной переменной:
$\frac{-2\sqrt[6]{c}}{(\sqrt[6]{c})^2 - 4} = \frac{-2\sqrt[6]{c}}{\sqrt[3]{c} - 4}$.
Ответ: $\frac{-2\sqrt[6]{c}}{\sqrt[3]{c} - 4}$.

3) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab}} + \frac{\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$
Преобразуем знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $2\sqrt[4]{a}$:
$2\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab} = 2(\sqrt[4]{a})^2 + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b} = 2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$.
Приведем дроби к общему знаменателю $2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} + \frac{\sqrt[4]{b} \cdot 2\sqrt[4]{a}}{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + 2\sqrt[4]{ab}}{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}$.
Числитель полученной дроби является полным квадратом:
$\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab} + \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b} + (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^2$.
Подставим его обратно в дробь и сократим:
$\frac{(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^2}{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} = \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{2\sqrt[4]{a}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{2\sqrt[4]{a}}$.

4) $(\frac{\sqrt[4]{a} + 3}{\sqrt[4]{a} - 3} + \frac{\sqrt[4]{a} - 3}{\sqrt[4]{a} + 3}) : \frac{3\sqrt{a} + 27}{9 - \sqrt{a}}$
Сначала упростим выражение в скобках. Пусть $y = \sqrt[4]{a}$.
$\frac{y+3}{y-3} + \frac{y-3}{y+3} = \frac{(y+3)^2 + (y-3)^2}{(y-3)(y+3)} = \frac{(y^2+6y+9) + (y^2-6y+9)}{y^2-9} = \frac{2y^2+18}{y^2-9} = \frac{2(y^2+9)}{y^2-9}$.
Подставим обратно $\sqrt{a}$ вместо $y^2$: $\frac{2(\sqrt{a}+9)}{\sqrt{a}-9}$.
Теперь упростим делитель:
$\frac{3\sqrt{a} + 27}{9 - \sqrt{a}} = \frac{3(\sqrt{a}+9)}{-(\sqrt{a}-9)}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{2(\sqrt{a}+9)}{\sqrt{a}-9} : \frac{3(\sqrt{a}+9)}{-(\sqrt{a}-9)} = \frac{2(\sqrt{a}+9)}{\sqrt{a}-9} \cdot \frac{-(\sqrt{a}-9)}{3(\sqrt{a}+9)}$.
Сократим одинаковые множители $(\sqrt{a}+9)$ и $(\sqrt{a}-9)$:
$\frac{2 \cdot (-1)}{3} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

5) $(\frac{5\sqrt[10]{a}}{\sqrt[10]{a} + 3} + \frac{10\sqrt[10]{a} - 6}{3\sqrt[10]{a} + 9}) \cdot \frac{135}{6\sqrt[10]{a} - \sqrt[5]{a}}$
Введем замену: пусть $y = \sqrt[10]{a}$, тогда $y^2 = \sqrt[5]{a}$.
Упростим выражение в скобках:
$\frac{5y}{y+3} + \frac{10y-6}{3y+9} = \frac{5y}{y+3} + \frac{10y-6}{3(y+3)} = \frac{3 \cdot 5y + (10y-6)}{3(y+3)} = \frac{15y+10y-6}{3(y+3)} = \frac{25y-6}{3(y+3)}$.
Упростим второй множитель:
$\frac{135}{6y - y^2} = \frac{135}{y(6 - y)}$.
Перемножим полученные выражения:
$\frac{25y-6}{3(y+3)} \cdot \frac{135}{y(6-y)} = \frac{(25y-6) \cdot 135}{3(y+3) \cdot y(6-y)} = \frac{45(25y-6)}{y(y+3)(6-y)}$.
Выполним обратную замену:
$\frac{45(25\sqrt[10]{a}-6)}{\sqrt[10]{a}(\sqrt[10]{a}+3)(6-\sqrt[10]{a})}$.
Ответ: $\frac{45(25\sqrt[10]{a}-6)}{\sqrt[10]{a}(6-\sqrt[10]{a})(\sqrt[10]{a}+3)}$.