Номер 103, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[6]{(x-6)^6}$;

2) $y = x + \sqrt[4]{x^4}$;

3) $y = \sqrt[4]{(x-2)^3} \cdot \sqrt[4]{x-2}$;

4) $y = \frac{(x+4)^2}{\sqrt[4]{(x+4)^4}} - 3.$

1)

Исходная функция: $y = \sqrt[6]{(x - 6)^6}$.

Область определения функции — все действительные числа, так как подкоренное выражение $(x-6)^6$ всегда неотрицательно.

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $n=3$, поэтому корень 6-й степени является корнем четной степени.

Преобразуем функцию:

$y = \sqrt[6]{(x - 6)^6} = |x - 6|$.

График функции $y = |x - 6|$ — это график функции $y = |x|$, смещенный на 6 единиц вправо по оси Ox.

Функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} x - 6, & \text{если } x - 6 \ge 0, \text{ то есть } x \ge 6 \\ -(x - 6), & \text{если } x - 6 < 0, \text{ то есть } x < 6 \end{cases}$

Таким образом, график состоит из двух лучей, выходящих из точки $(6, 0)$:

• Луч $y = x - 6$ для $x \ge 6$. Проходит через точки $(6, 0)$ и $(7, 1)$.
• Луч $y = -x + 6$ для $x < 6$. Проходит через точки $(6, 0)$ и $(5, 1)$.

Вершина графика находится в точке $(6, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" (V-образную кривую), состоящую из двух лучей, с вершиной в точке $(6, 0)$. Ветви направлены вверх.

2)

Исходная функция: $y = x + \sqrt[4]{x^4}$.

Область определения — все действительные числа, так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$.

Используем свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

Преобразуем функцию:

$y = x + |x|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид $y = x + x = 2x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = x + (-x) = 0$.

Таким образом, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

• При $x < 0$ график совпадает с отрицательной частью оси Ox (луч $y = 0$).
• При $x \ge 0$ график представляет собой луч $y = 2x$, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(1, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$: луч $y = 0$ для $x < 0$ и луч $y = 2x$ для $x \ge 0$.

3)

Исходная функция: $y = \sqrt[4]{(x - 2)^3} \cdot \sqrt[4]{x - 2}$.

Найдем область определения функции. Выражения под корнем четной степени должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} (x - 2)^3 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases}$

Оба неравенства равносильны условию $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Область определения: $x \in [2, +\infty)$.

На этой области определения преобразуем функцию, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$y = \sqrt[4]{(x - 2)^3 \cdot (x - 2)} = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$.

Так как $x \ge 2$, то $x - 2 \ge 0$. Поэтому, используя свойство $\sqrt[4]{a^4} = |a|$, получаем:

$y = |x - 2| = x - 2$.

Итак, нам нужно построить график функции $y = x - 2$ при условии $x \ge 2$.

Это луч прямой $y = x - 2$, начинающийся в точке, где $x = 2$. Найдем ординату этой точки: $y = 2 - 2 = 0$.

Начало луча — точка $(2, 0)$. Для построения найдем еще одну точку, например, при $x = 4$, $y = 4 - 2 = 2$.

Ответ: График функции — луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий через точку $(4, 2)$.

4)

Исходная функция: $y = \frac{(x + 4)^2}{\sqrt[4]{(x + 4)^4}} - 3$.

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$\sqrt[4]{(x + 4)^4} \ne 0 \implies (x + 4)^4 \ne 0 \implies x + 4 \ne 0 \implies x \ne -4$.

Область определения: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, +\infty)$.

Упростим выражение в знаменателе: $\sqrt[4]{(x + 4)^4} = |x + 4|$.

Функция принимает вид: $y = \frac{(x + 4)^2}{|x + 4|} - 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$, то $|x + 4| = x + 4$.

$y = \frac{(x + 4)^2}{x + 4} - 3 = (x + 4) - 3 = x + 1$.

2. Если $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$, то $|x + 4| = -(x + 4)$.

$y = \frac{(x + 4)^2}{-(x + 4)} - 3 = -(x + 4) - 3 = -x - 4 - 3 = -x - 7$.

Таким образом, функция задается кусочно:

$y = \begin{cases} x + 1, & \text{если } x > -4 \\ -x - 7, & \text{если } x < -4 \end{cases}$

График состоит из двух открытых лучей:

• Луч $y = x + 1$ для $x > -4$.
• Луч $y = -x - 7$ для $x < -4$.

Поскольку функция не определена в точке $x = -4$, на графике будет "выколотая" точка. Найдем ее координаты, подставив $x = -4$ в оба выражения:

Для $y = x + 1$: $y = -4 + 1 = -3$.

Для $y = -x - 7$: $y = -(-4) - 7 = 4 - 7 = -3$.

Оба луча сходятся в точке $(-4, -3)$, которая не принадлежит графику.

Ответ: График функции состоит из двух открытых лучей, сходящихся в выколотой точке $(-4, -3)$. Для $x > -4$ это луч $y = x + 1$, а для $x < -4$ это луч $y = -x - 7$.