Номер 97, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Сравните:

1) $\sqrt[3]{18}$ и $\sqrt{7}$;

2) $\sqrt[10]{5}$ и $\sqrt[15]{11}$;

3) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[6]{9\sqrt{7}}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[3]{18}$ и $\sqrt{7}$, приведем их к общему показателю корня. Показатели корней равны 3 и 2. Наименьшее общее кратное (НОК) для 3 и 2 равно 6.
Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt[3]{18} = \sqrt[3 \cdot 2]{18^2} = \sqrt[6]{324}$.
Приведем второй корень к показателю 6:
$\sqrt{7} = \sqrt[2 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[6]{343}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $324$ и $343$.
Поскольку $324 < 343$, то и $\sqrt[6]{324} < \sqrt[6]{343}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{18} < \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{18} < \sqrt{7}$.

2) Сравним числа $\sqrt[10]{5}$ и $\sqrt[15]{11}$. Для этого приведем корни к общему показателю. НОК показателей 10 и 15 равно 30.
Приведем первый корень к показателю 30:
$\sqrt[10]{5} = \sqrt[10 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[30]{125}$.
Приведем второй корень к показателю 30:
$\sqrt[15]{11} = \sqrt[15 \cdot 2]{11^2} = \sqrt[30]{121}$.
Сравним подкоренные выражения: $125$ и $121$.
Так как $125 > 121$, то $\sqrt[30]{125} > \sqrt[30]{121}$.
Следовательно, $\sqrt[10]{5} > \sqrt[15]{11}$.
Ответ: $\sqrt[10]{5} > \sqrt[15]{11}$.

3) Сравним числа $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[6]{9\sqrt{7}}$. Сначала упростим второе выражение.
Внесем множитель 9 под знак внутреннего корня:
$9\sqrt{7} = \sqrt{9^2 \cdot 7} = \sqrt{81 \cdot 7} = \sqrt{567}$.
Тогда второе выражение примет вид:
$\sqrt[6]{9\sqrt{7}} = \sqrt[6]{\sqrt{567}} = \sqrt[6 \cdot 2]{567} = \sqrt[12]{567}$.
Теперь задача сводится к сравнению $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{567}$. Приведем корни к общему показателю. НОК для 4 и 12 равно 12.
Приведем первый корень к показателю 12:
$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$.
Теперь сравним подкоренные выражения полученных корней: $343$ и $567$.
Поскольку $343 < 567$, то $\sqrt[12]{343} < \sqrt[12]{567}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{7} < \sqrt[6]{9\sqrt{7}}$.
Ответ: $\sqrt[4]{7} < \sqrt[6]{9\sqrt{7}}$.