Номер 99, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Упростите выражение:

1) $\sqrt[8]{m^8}$, если $m \ge 0$;

2) $\sqrt[4]{n^4}$, если $n \le 0$;

3) $\sqrt[9]{p^9}$;

4) $\sqrt[3]{0,008m^{36}n^{48}};$

5) $\sqrt[4]{625x^{12}y^{28}z^8}$, если $x \ge 0, y \le 0$;

6) $2,5x^3\sqrt[4]{256x^{20}}$, если $x \ge 0$;

7) $\frac{\sqrt[6]{a^{12}b^{18}c^{30}}}{ab^2c^3}$, если $b > 0, c < 0$;

8) $-0,8y^2 \cdot \sqrt[4]{81x^{44}y^{24}}$, если $x \ge 0$.

1) Для любого четного показателя корня $2k$ справедливо равенство $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$. В данном случае показатель корня $8$ является четным числом, следовательно $\sqrt[8]{m^8} = |m|$. Поскольку по условию $m \geq 0$, то $|m| = m$.
Ответ: $m$.

2) Показатель корня $4$ является четным числом, поэтому $\sqrt[4]{n^4} = |n|$. По условию $n \leq 0$. По определению модуля, для любого отрицательного числа или нуля $|n| = -n$.
Ответ: $-n$.

3) Для любого нечетного показателя корня $2k+1$ справедливо равенство $\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a$. В данном случае показатель корня $9$ является нечетным числом, следовательно $\sqrt[9]{p^9} = p$.
Ответ: $p$.

4) Используем свойство корня из произведения и свойство корня из степени: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$. $\sqrt[3]{0,008m^{36}n^{48}} = \sqrt[3]{0,008} \cdot \sqrt[3]{m^{36}} \cdot \sqrt[3]{n^{48}}$. Вычисляем каждый множитель: $\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{(0,2)^3} = 0,2$. $\sqrt[3]{m^{36}} = m^{\frac{36}{3}} = m^{12}$. $\sqrt[3]{n^{48}} = n^{\frac{48}{3}} = n^{16}$. Результат: $0,2m^{12}n^{16}$.
Ответ: $0,2m^{12}n^{16}$.

5) Показатель корня $4$ - четный. $\sqrt[4]{625x^{12}y^{28}z^8} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (x^3)^4 \cdot (y^7)^4 \cdot (z^2)^4} = |5| \cdot |x^3| \cdot |y^7| \cdot |z^2| = 5|x^3||y^7|z^2$. Раскроем модули с учетом условий: Если $x \geq 0$, то $x^3 \geq 0$, и $|x^3| = x^3$. Если $y \leq 0$, то $y^7 \leq 0$, и $|y^7| = -y^7$. Выражение $z^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|z^2| = z^2$. Подставляем раскрытые модули в выражение: $5 \cdot x^3 \cdot (-y^7) \cdot z^2 = -5x^3y^7z^2$.
Ответ: $-5x^3y^7z^2$.

6) Упростим выражение под корнем: $\sqrt[4]{256x^{20}} = \sqrt[4]{4^4 \cdot (x^5)^4} = |4| \cdot |x^5| = 4|x^5|$. По условию $x \geq 0$, следовательно $x^5 \geq 0$ и $|x^5| = x^5$. Таким образом, $\sqrt[4]{256x^{20}} = 4x^5$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $2,5x^3 \cdot 4x^5 = (2,5 \cdot 4) \cdot (x^3 \cdot x^5) = 10x^8$.
Ответ: $10x^8$.

7) Сначала упростим числитель. Показатель корня $6$ - четный. $\sqrt[6]{a^{12}b^{18}c^{30}} = \sqrt[6]{(a^2)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot (c^5)^6} = |a^2| \cdot |b^3| \cdot |c^5|$. Раскроем модули с учетом условий: $|a^2| = a^2$, так как квадрат любого числа неотрицателен. По условию $b > 0$, значит $b^3 > 0$, и $|b^3| = b^3$. По условию $c < 0$, значит $c^5 < 0$, и $|c^5| = -c^5$. Числитель равен $a^2 \cdot b^3 \cdot (-c^5) = -a^2b^3c^5$. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель: $\frac{-a^2b^3c^5}{ab^2c^3} = -a^{2-1}b^{3-2}c^{5-3} = -abc^2$.
Ответ: $-abc^2$.

8) Упростим выражение под корнем. Показатель $4$ - четный. $\sqrt[4]{81x^{44}y^{24}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (x^{11})^4 \cdot (y^6)^4} = |3| \cdot |x^{11}| \cdot |y^6| = 3|x^{11}||y^6|$. Раскроем модули с учетом условий: По условию $x \geq 0$, значит $x^{11} \geq 0$, и $|x^{11}| = x^{11}$. Выражение $y^6$ всегда неотрицательно, поэтому $|y^6| = y^6$. Корень равен $3x^{11}y^6$. Теперь умножим на множитель перед корнем: $-0,8y^2 \cdot (3x^{11}y^6) = (-0,8 \cdot 3) \cdot x^{11} \cdot (y^2 \cdot y^6) = -2,4x^{11}y^8$.
Ответ: $-2,4x^{11}y^8$.