Номер 94, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{375} + 5\sqrt[3]{81} - 7\sqrt[3]{-192};$

2) $3\sqrt[4]{162n} - 2\sqrt[4]{243n} + \sqrt[4]{512n} - 5\sqrt[4]{1875n}.$

1)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{375} + 5\sqrt[3]{81} - 7\sqrt[3]{192}$, необходимо вынести множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители, выделяя кубы чисел.

1. Упростим $\sqrt[3]{375}$:
$375 = 125 \cdot 3 = 5^3 \cdot 3$.
Следовательно, $\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3}$.

2. Упростим $5\sqrt[3]{81}$:
$81 = 27 \cdot 3 = 3^3 \cdot 3$.
Следовательно, $5\sqrt[3]{81} = 5\sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = 5 \cdot 3\sqrt[3]{3} = 15\sqrt[3]{3}$.

3. Упростим $7\sqrt[3]{192}$:
$192 = 64 \cdot 3 = 4^3 \cdot 3$.
Следовательно, $7\sqrt[3]{192} = 7\sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = 7 \cdot 4\sqrt[3]{3} = 28\sqrt[3]{3}$.

Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение и приведем подобные члены:
$5\sqrt[3]{3} + 15\sqrt[3]{3} - 28\sqrt[3]{3} = (5 + 15 - 28)\sqrt[3]{3} = (20 - 28)\sqrt[3]{3} = -8\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $-8\sqrt[3]{3}$.

2)

Чтобы упростить выражение $3\sqrt[4]{162n} - 2\sqrt[4]{243n} + \sqrt[4]{512n} - 5\sqrt[4]{1875n}$, вынесем множители из-под знака корня четвертой степени. Для этого разложим подкоренные выражения на множители, выделяя четвертые степени чисел.

1. Упростим $3\sqrt[4]{162n}$:
$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.
$3\sqrt[4]{162n} = 3\sqrt[4]{3^4 \cdot 2n} = 3 \cdot 3\sqrt[4]{2n} = 9\sqrt[4]{2n}$.

2. Упростим $2\sqrt[4]{243n}$:
$243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$.
$2\sqrt[4]{243n} = 2\sqrt[4]{3^4 \cdot 3n} = 2 \cdot 3\sqrt[4]{3n} = 6\sqrt[4]{3n}$.

3. Упростим $\sqrt[4]{512n}$:
$512 = 256 \cdot 2 = 4^4 \cdot 2$.
$\sqrt[4]{512n} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 2n} = 4\sqrt[4]{2n}$.

4. Упростим $5\sqrt[4]{1875n}$:
$1875 = 625 \cdot 3 = 5^4 \cdot 3$.
$5\sqrt[4]{1875n} = 5\sqrt[4]{5^4 \cdot 3n} = 5 \cdot 5\sqrt[4]{3n} = 25\sqrt[4]{3n}$.

Подставим полученные значения в исходное выражение и сгруппируем подобные слагаемые:
$9\sqrt[4]{2n} - 6\sqrt[4]{3n} + 4\sqrt[4]{2n} - 25\sqrt[4]{3n} = (9\sqrt[4]{2n} + 4\sqrt[4]{2n}) + (-6\sqrt[4]{3n} - 25\sqrt[4]{3n}) =$
$= (9 + 4)\sqrt[4]{2n} + (-6 - 25)\sqrt[4]{3n} = 13\sqrt[4]{2n} - 31\sqrt[4]{3n}$.

Ответ: $13\sqrt[4]{2n} - 31\sqrt[4]{3n}$.