Номер 89, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\sqrt[4]{b}}$;

2) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{c}}$;

3) $\sqrt[35]{m^7}$;

4) $\sqrt[20]{a^{15}b^{10}}$;

5) $\frac{\sqrt[12]{x^{11}y^{27}}}{\sqrt[12]{x^3y^9}}$.

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{\sqrt[4]{b}} $ воспользуемся свойством корня из корня: $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} $.
В данном случае квадратный корень (обозначенный как $ \sqrt{} $) имеет показатель 2. Таким образом, получаем:
$ \sqrt{\sqrt[4]{b}} = \sqrt[2]{\sqrt[4]{b}} = \sqrt[2 \cdot 4]{b} = \sqrt[8]{b} $.
Ответ: $ \sqrt[8]{b} $.

2) Для упрощения выражения $ \sqrt[5]{\sqrt[3]{c}} $ также используем свойство корня из корня: $ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} $.
Перемножим показатели корней:
$ \sqrt[5]{\sqrt[3]{c}} = \sqrt[5 \cdot 3]{c} = \sqrt[15]{c} $.
Ответ: $ \sqrt[15]{c} $.

3) Для упрощения выражения $ \sqrt[35]{m^7} $ воспользуемся свойством $ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} $, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.
Найдём наибольший общий делитель (НОД) для показателя корня 35 и показателя степени 7. НОД(35, 7) = 7.
Разделим показатель корня и показатель степени на 7:
$ \sqrt[35]{m^7} = \sqrt[35 \div 7]{m^{7 \div 7}} = \sqrt[5]{m^1} = \sqrt[5]{m} $.
Ответ: $ \sqrt[5]{m} $.

4) Для упрощения выражения $ \sqrt[20]{a^{15}b^{10}} $ используем то же свойство, что и в предыдущем задании. Сократим показатель корня и показатели степеней подкоренного выражения на их общий делитель.
Найдём наибольший общий делитель для чисел 20, 15 и 10. НОД(20, 15, 10) = 5.
Разделим показатель корня и показатели степеней на 5:
$ \sqrt[20]{a^{15}b^{10}} = \sqrt[20 \div 5]{a^{15 \div 5}b^{10 \div 5}} = \sqrt[4]{a^3b^2} $.
Ответ: $ \sqrt[4]{a^3b^2} $.

5) Для упрощения выражения $ \frac{\sqrt[12]{x^{11}y^{27}}}{\sqrt[12]{x^3y^9}} $ воспользуемся свойством частного корней с одинаковыми показателями: $ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $.
Применим это свойство, объединив выражения под один корень:
$ \frac{\sqrt[12]{x^{11}y^{27}}}{\sqrt[12]{x^3y^9}} = \sqrt[12]{\frac{x^{11}y^{27}}{x^3y^9}} $.
Теперь упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \sqrt[12]{x^{11-3}y^{27-9}} = \sqrt[12]{x^8y^{18}} $.
Далее, сократим показатель корня и показатели степеней подкоренного выражения на их наибольший общий делитель. НОД(12, 8, 18) = 2.
$ \sqrt[12 \div 2]{x^{8 \div 2}y^{18 \div 2}} = \sqrt[6]{x^4y^9} $.
Для окончательного упрощения можно вынести множитель из-под знака корня. Представим $ y^9 $ как $ y^6 \cdot y^3 $:
$ \sqrt[6]{x^4y^9} = \sqrt[6]{x^4 \cdot y^6 \cdot y^3} = \sqrt[6]{y^6} \cdot \sqrt[6]{x^4y^3} = y\sqrt[6]{x^4y^3} $ (при условии, что переменные принимают неотрицательные значения).
Ответ: $ y\sqrt[6]{x^4y^3} $.