Номер 85, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $a\sqrt[6]{x} = 0;$

2) $\sqrt[4]{ax} = 0;$

3) $(a-7)\sqrt[8]{x} = a-7;$

4) $\sqrt[8]{x} = a+8;$

5) $ax^6 = 3;$

6) $x^3 = a-4.$

1) $a\sqrt[6]{x} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием $x \ge 0$, так как корень имеет четную степень.

Рассмотрим два случая для параметра $a$:

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[6]{x} = 0$, или $0 = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$ из ОДЗ.

Следовательно, при $a = 0$ решением является любое $x \ge 0$.

2. Если $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$\sqrt[6]{x} = 0$

Возводим обе части в 6-ю степень, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt[6]{x})^6 = 0^6$

$x = 0$

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge 0$).

Ответ: если $a = 0$, то $x \in [0, +\infty)$; если $a \neq 0$, то $x = 0$.

2) $\sqrt[4]{ax} = 0$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $ax \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в 4-ю степень:

$(\sqrt[4]{ax})^4 = 0^4$

$ax = 0$

Рассмотрим два случая для параметра $a$:

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, или $0 = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $x$. Проверим ОДЗ: $0 \cdot x \ge 0$, или $0 \ge 0$, что также верно для любого $x$.

Следовательно, при $a = 0$ решением является любое $x \in \mathbb{R}$.

2. Если $a \neq 0$, то из уравнения $ax = 0$ следует, что $x = 0$. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $a \cdot 0 = 0 \ge 0$.

Ответ: если $a = 0$, то $x \in \mathbb{R}$; если $a \neq 0$, то $x = 0$.

3) $(a-7)\sqrt[8]{x} = a-7$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения выражения $(a-7)$:

1. Если $a - 7 = 0$, то есть $a = 7$. Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt[8]{x} = 0$, или $0 = 0$. Это равенство верно для любого $x$ из ОДЗ.

Следовательно, при $a = 7$ решением является любое $x \ge 0$.

2. Если $a - 7 \neq 0$, то есть $a \neq 7$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 7)$:

$\sqrt[8]{x} = \frac{a-7}{a-7}$

$\sqrt[8]{x} = 1$

Возводим обе части в 8-ю степень:

$x = 1^8$

$x = 1$

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$).

Ответ: если $a = 7$, то $x \in [0, +\infty)$; если $a \neq 7$, то $x = 1$.

4) $\sqrt[8]{x} = a+8$

ОДЗ: $x \ge 0$.

По определению, арифметический корень четной степени $\sqrt[8]{x}$ является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[8]{x} \ge 0$.

Следовательно, для существования решений необходимо, чтобы правая часть уравнения была также неотрицательной:

$a + 8 \ge 0$, что означает $a \ge -8$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a < -8$, то $a+8 < 0$. Правая часть уравнения отрицательна, а левая неотрицательна. В этом случае уравнение не имеет действительных решений.

2. Если $a \ge -8$, то $a+8 \ge 0$. Можно возвести обе части уравнения в 8-ю степень:

$(\sqrt[8]{x})^8 = (a+8)^8$

$x = (a+8)^8$

Так как любое число в четной степени неотрицательно, $x \ge 0$, что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: если $a < -8$, то корней нет; если $a \ge -8$, то $x = (a+8)^8$.

5) $ax^6 = 3$

Рассмотрим два случая для параметра $a$:

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^6 = 3$, или $0 = 3$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение корней не имеет.

2. Если $a \neq 0$, разделим обе части на $a$:

$x^6 = \frac{3}{a}$

Левая часть уравнения, $x^6$, всегда неотрицательна для любого действительного $x$. Следовательно, для существования решений правая часть также должна быть неотрицательной: $\frac{3}{a} \ge 0$.

Так как $3 > 0$, это неравенство выполняется только при $a > 0$.

а) Если $a < 0$, то $\frac{3}{a} < 0$. Уравнение $x^6 = \text{отрицательное число}$ не имеет действительных корней.

б) Если $a > 0$, то $\frac{3}{a} > 0$. Уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \sqrt[6]{\frac{3}{a}}$ и $x_2 = -\sqrt[6]{\frac{3}{a}}$.

Ответ: если $a \le 0$, то корней нет; если $a > 0$, то $x = \pm \sqrt[6]{\frac{3}{a}}$.

6) $x^3 = a-4$

Это уравнение вида $x^{2k+1} = C$, где $k \in \mathbb{N}$ и $C$ — некоторое число. Уравнение с нечетной степенью всегда имеет ровно один действительный корень для любого действительного значения $C$.

В данном случае, для любого значения параметра $a$ выражение $a-4$ является действительным числом. Следовательно, уравнение всегда имеет единственный корень, который находится извлечением кубического корня из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{a-4}$

Ответ: для любого $a$, $x = \sqrt[3]{a-4}$.