Номер 87, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5};$

2) $\sqrt[7]{10000} \cdot \sqrt[7]{1000};$

3) $\sqrt[3]{0,09} \cdot \sqrt[3]{2,4};$

4) $\sqrt[9]{2^5 \cdot 5^4} \cdot \sqrt[9]{5^5 \cdot 2^{22}};$

5) $\frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{54}};$

6) $\frac{\sqrt[4]{2^7 \cdot 10^3}}{\sqrt[4]{10^{11} \cdot 2^3}} \cdot$

1) $\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5}$

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625}$

Так как $5^4 = 625$, то:

$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$

Ответ: 5

2) $\sqrt[7]{10\,000} \cdot \sqrt[7]{1000}$

Применяем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[7]{10\,000} \cdot \sqrt[7]{1000} = \sqrt[7]{10\,000 \cdot 1000}$

Представим числа под корнем в виде степеней десяти: $10\,000 = 10^4$ и $1000 = 10^3$.

$\sqrt[7]{10^4 \cdot 10^3} = \sqrt[7]{10^{4+3}} = \sqrt[7]{10^7} = 10$

Ответ: 10

3) $\sqrt[3]{0,09} \cdot \sqrt[3]{2,4}$

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{0,09} \cdot \sqrt[3]{2,4} = \sqrt[3]{0,09 \cdot 2,4}$

Вычислим произведение под корнем:

$0,09 \cdot 2,4 = 0,216$

Получаем $\sqrt[3]{0,216}$. Так как $0,6^3 = 0,216$, то:

$\sqrt[3]{0,216} = \sqrt[3]{(0,6)^3} = 0,6$

Ответ: 0,6

4) $\sqrt[9]{2^5 \cdot 5^4} \cdot \sqrt[9]{5^5 \cdot 2^{22}}$

Объединяем выражения под одним корнем, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[9]{2^5 \cdot 5^4 \cdot 5^5 \cdot 2^{22}}$

Группируем множители с одинаковыми основаниями и складываем их степени:

$\sqrt[9]{(2^5 \cdot 2^{22}) \cdot (5^4 \cdot 5^5)} = \sqrt[9]{2^{5+22} \cdot 5^{4+5}} = \sqrt[9]{2^{27} \cdot 5^9}$

Используем свойство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$\sqrt[9]{2^{27}} \cdot \sqrt[9]{5^9} = 2^{27/9} \cdot 5^{9/9} = 2^3 \cdot 5^1 = 8 \cdot 5 = 40$

Ответ: 40

5) $\frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{54}}$

Используем свойство частного корней одинаковой степени $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{54}} = \sqrt[3]{\frac{250}{54}}$

Сокращаем дробь под корнем:

$\frac{250}{54} = \frac{125 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{125}{27}$

Получаем $\sqrt[3]{\frac{125}{27}}$. Теперь извлекаем корень из числителя и знаменателя:

$\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

6) $\frac{\sqrt[4]{2^7 \cdot 10^3}}{\sqrt[4]{10^{11} \cdot 2^3}}$

Применяем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\sqrt[4]{\frac{2^7 \cdot 10^3}{10^{11} \cdot 2^3}}$

Упрощаем выражение под корнем, используя свойства степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\sqrt[4]{2^{7-3} \cdot 10^{3-11}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 10^{-8}}$

Извлекаем корень:

$\sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{10^{-8}} = 2^{4/4} \cdot 10^{-8/4} = 2^1 \cdot 10^{-2} = 2 \cdot \frac{1}{100} = \frac{2}{100} = 0,02$

Ответ: 0,02