Номер 91, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{40}$;

2) $\sqrt[5]{128}$;

3) $\sqrt[4]{162}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня, необходимо разложить подкоренное выражение на множители таким образом, чтобы из одного или нескольких из них можно было извлечь корень заданной степени. В данном случае мы ищем множитель, являющийся точным кубом.
Разложим число 40 на простые множители:
$40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$.
Мы видим, что 40 можно представить как произведение $8 \times 5$, где 8 является кубом числа 2 ($2^3 = 8$).
Теперь подставим это разложение в исходное выражение:
$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \times 5}$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:
$\sqrt[3]{8 \times 5} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{5}$.
Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, окончательное выражение будет:
$2 \times \sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{5}$.

2) Требуется вынести множитель из-под знака корня пятой степени. Для этого разложим число 128 на множители, выделив множитель, являющийся пятой степенью какого-либо числа.
Число 128 является степенью двойки. Найдем эту степень: $128 = 2^7$.
Представим $2^7$ в виде произведения, где один из множителей будет в пятой степени: $2^7 = 2^5 \times 2^2$.
Число $2^5 = 32$.
Подставим разложение в исходное выражение:
$\sqrt[5]{128} = \sqrt[5]{32 \times 4}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt[5]{32 \times 4} = \sqrt[5]{32} \times \sqrt[5]{4}$.
Так как $\sqrt[5]{32} = 2$, получаем:
$2 \times \sqrt[5]{4} = 2\sqrt[5]{4}$.
Ответ: $2\sqrt[5]{4}$.

3) Нужно вынести множитель из-под знака корня четвертой степени. Для этого разложим число 162 на множители, один из которых будет точной четвертой степенью.
Разложим 162 на простые множители:
$162 = 2 \times 81$.
Число 81 является четвертой степенью числа 3, так как $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
Таким образом, $162 = 81 \times 2$.
Подставим это разложение под знак корня:
$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \times 2}$.
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt[4]{81 \times 2} = \sqrt[4]{81} \times \sqrt[4]{2}$.
Так как $\sqrt[4]{81} = 3$, получаем результат:
$3 \times \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.