Номер 98, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. При каких значениях $x$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[6]{x^2 - 16} = \sqrt[6]{x - 4} \cdot \sqrt[6]{x + 4}$;

2) $\sqrt[12]{(-x + 5)(x - 7)} = \sqrt[12]{x - 5} \cdot \sqrt[12]{7 - x}$;

3) $\sqrt[9]{(8 - x)(10 - x)} = \sqrt[9]{8 - x} \cdot \sqrt[9]{10 - x}$?

1) Данное равенство $\sqrt[6]{x^2 - 16} = \sqrt[6]{x - 4} \cdot \sqrt[6]{x + 4}$ основано на свойстве $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$. Поскольку показатель корня $n=6$ является четным, это свойство справедливо только тогда, когда подкоренные выражения у множителей в правой части неотрицательны. Таким образом, должны одновременно выполняться условия $x - 4 \ge 0$ и $x + 4 \ge 0$. Решением первого неравенства является $x \ge 4$, а второго — $x \ge -4$. Общим решением системы является промежуток $x \ge 4$. На этом промежутке все выражения под корнями неотрицательны, и равенство является верным. Ответ: $x \in [4, +\infty)$.

2) Равенство $\sqrt[12]{(-x+5)(x-7)} = \sqrt[12]{x-5} \cdot \sqrt[12]{7-x}$ также является частным случаем свойства $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$. Так как показатель корня $n=12$ — четное число, равенство будет верным, если подкоренные выражения в правой части неотрицательны: $x-5 \ge 0$ и $7-x \ge 0$. Решая эти неравенства, получаем $x \ge 5$ и $x \le 7$, что соответствует отрезку $[5, 7]$. На этом отрезке подкоренное выражение в левой части, $(-x+5)(x-7)$, также неотрицательно, поскольку является произведением двух неположительных множителей. Кроме того, можно проверить, что $(-x+5)(x-7) = (x-5)(7-x)$, то есть подкоренные выражения тождественно равны. Следовательно, равенство выполняется на всей области определения правой части. Ответ: $x \in [5, 7]$.

3) В равенстве $\sqrt[9]{(8-x)(10-x)} = \sqrt[9]{8-x} \cdot \sqrt[9]{10-x}$ показатель корня $n=9$ является нечетным. Свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ для нечетного показателя $n$ справедливо для любых действительных чисел $a$ и $b$. Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения, поэтому все части данного равенства определены при любом действительном значении $x$. Следовательно, равенство является тождеством и выполняется при всех действительных $x$. Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.