Номер 102, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Решите уравнение:

1) $ \sqrt[12]{(x+3)^{12}} = 4x $

2) $ \sqrt[4]{(x-15)^4} = 15-x $

1) $\sqrt[12]{(x+3)^{12}} = 4x$

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Поскольку показатель корня 12 является четным числом, мы можем упростить левую часть уравнения:

$\sqrt[12]{(x+3)^{12}} = |x+3|$

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$|x+3| = 4x$

Так как модуль числа всегда является неотрицательной величиной ($|x+3| \ge 0$), то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$4x \ge 0$

$x \ge 0$

Это является областью допустимых значений для данного уравнения. Теперь рассмотрим уравнение $|x+3| = 4x$ при условии, что $x \ge 0$.

Если $x \ge 0$, то выражение под знаком модуля $x+3$ всегда будет положительным ($x+3 > 0$). Следовательно, знак модуля можно опустить:

$|x+3| = x+3$

Подставим это в уравнение:

$x+3 = 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$3 = 4x - x$

$3 = 3x$

$x = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=1$ условию $x \ge 0$. Да, $1 \ge 0$, следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $1$

2) $\sqrt[4]{(x-15)^{4}} = 15 - x$

Аналогично первому примеру, используем свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Показатель корня 4 является четным, поэтому:

$\sqrt[4]{(x-15)^{4}} = |x-15|$

Уравнение принимает вид:

$|x-15| = 15 - x$

Заметим, что правая часть уравнения $15 - x$ является противоположным выражением для подмодульного выражения $x-15$, то есть $15-x = -(x-15)$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде $|A| = -A$, где $A = x-15$.

Равенство $|A| = -A$ верно тогда и только тогда, когда выражение $A$ является неположительным, то есть $A \le 0$.

Применим это свойство к нашему уравнению:

$x-15 \le 0$

Решим это простое неравенство:

$x \le 15$

Таким образом, решением уравнения является любое число $x$, которое меньше или равно 15. Это можно записать в виде промежутка $(-\infty; 15]$.

Ответ: $(-\infty; 15]$