Номер 100, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. Упростите выражение:

1) $\sqrt[6]{(x+2)^6}$;

2) $\sqrt[8]{(b-10)^8}$, если $b \ge 10$;

3) $\sqrt[12]{(4-y)^{12}}$, если $y \le 4$;

4) $(21-b)\sqrt[6]{\frac{729}{(b-21)^6}}$, если $b > 21$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{(x + 2)^6}$ используется свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
В данном случае показатель корня и показатель степени подкоренного выражения равны 6 (четное число), а основание степени $a = x+2$.
Применяя свойство, получаем:
$\sqrt[6]{(x + 2)^6} = |x+2|$.
Поскольку нет дополнительных условий для переменной $x$, это является окончательным упрощенным видом выражения.
Ответ: $|x+2|$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt[8]{(b - 10)^8}$ при условии $b \ge 10$ воспользуемся свойством $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
Применяя это свойство, получаем: $\sqrt[8]{(b - 10)^8} = |b - 10|$.
Теперь рассмотрим условие $b \ge 10$. Это означает, что выражение под знаком модуля $b - 10$ является неотрицательным ($b - 10 \ge 0$).
По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль равен самому выражению. Следовательно, $|b - 10| = b - 10$.
Ответ: $b-10$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[12]{(4 - y)^{12}}$ при условии $y \le 4$ воспользуемся свойством $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
Применяя это свойство, получаем: $\sqrt[12]{(4 - y)^{12}} = |4 - y|$.
Теперь рассмотрим условие $y \le 4$. Это означает, что выражение под знаком модуля $4 - y$ является неотрицательным ($4 - y \ge 0$).
По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль равен самому выражению. Следовательно, $|4 - y| = 4 - y$.
Ответ: $4-y$.

4) Рассмотрим выражение $(21 - b) \sqrt[6]{\frac{729}{(b - 21)^6}}$ при условии $b > 21$.
Упростим выражение по частям. Начнем с корня.
$\sqrt[6]{\frac{729}{(b - 21)^6}} = \frac{\sqrt[6]{729}}{\sqrt[6]{(b - 21)^6}}$.
Вычислим числитель: $729 = 3^6$, поэтому $\sqrt[6]{729} = 3$.
Упростим знаменатель, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:
$\sqrt[6]{(b - 21)^6} = |b - 21|$.
По условию $b > 21$, значит, разность $b - 21$ положительна. Таким образом, $|b - 21| = b - 21$.
Итак, корень упрощается до $\frac{3}{b - 21}$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$(21 - b) \cdot \frac{3}{b - 21}$.
Заметим, что $21 - b = -(b - 21)$. Подставим это в выражение:
$-(b - 21) \cdot \frac{3}{b - 21}$.
Так как $b > 21$, то $b - 21 \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $(b - 21)$:
$-1 \cdot 3 = -3$.
Ответ: $-3$.