Номер 95, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}}$;2) $\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^2}}$;3) $\sqrt[7]{c\sqrt[5]{c^2}}$;4) $\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}}$ внесем множитель 6 под внутренний знак корня. Для этого возведем 6 в степень, равную показателю внутреннего корня (в данном случае 3):
$\sqrt[3]{6\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{6^3 \cdot 5}}$
Теперь воспользуемся свойством корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$ и вычислим значение под корнем:
$\sqrt[3]{\sqrt[3]{6^3 \cdot 5}} = \sqrt[3 \cdot 3]{216 \cdot 5} = \sqrt[9]{1080}$.
Ответ: $\sqrt[9]{1080}$

2) Упростим выражение $\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^2}}$. Внесем множитель $b$ под внутренний корень пятой степени, возведя его в 5-ю степень:
$\sqrt[4]{b\sqrt[5]{b^2}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^5 \cdot b^2}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($b^m \cdot b^n = b^{m+n}$):
$\sqrt[4]{\sqrt[5]{b^{5+2}}} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{b^7}}$
Используя свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$, перемножаем показатели корней:
$\sqrt[4 \cdot 5]{b^7} = \sqrt[20]{b^7}$.
Ответ: $\sqrt[20]{b^7}$

3) Упростим выражение $\sqrt[7]{c\sqrt[5]{c^2}}$. Внесем множитель $c$ под внутренний корень, возведя его в степень 5:
$\sqrt[7]{c\sqrt[5]{c^2}} = \sqrt[7]{\sqrt[5]{c^5 \cdot c^2}}$
Сложим показатели степеней под внутренним корнем:
$\sqrt[7]{\sqrt[5]{c^{5+2}}} = \sqrt[7]{\sqrt[5]{c^7}}$
Перемножим показатели корней:
$\sqrt[7 \cdot 5]{c^7} = \sqrt[35]{c^7}$
Данное выражение можно упростить, представив его в виде степени с рациональным показателем и сократив дробь: $c^{\frac{7}{35}} = c^{\frac{1}{5}}$.
Вернемся к записи в виде корня:
$c^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{c}$.
Ответ: $\sqrt[5]{c}$

4) Упростим выражение $\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}}$. Внесем множитель $a^2$ под внутренний корень пятой степени. Для этого возведем $a^2$ в 5-ю степень:
$\sqrt[6]{a^2\sqrt[5]{a^2}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{(a^2)^5 \cdot a^2}}$
При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{mn}$), а при умножении степеней с одинаковым основанием — складываются:
$\sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{2 \cdot 5} \cdot a^2}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{10} \cdot a^2}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{10+2}}} = \sqrt[6]{\sqrt[5]{a^{12}}}$
Теперь перемножим показатели корней:
$\sqrt[6 \cdot 5]{a^{12}} = \sqrt[30]{a^{12}}$
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 6:
$\sqrt[30 \div 6]{a^{12 \div 6}} = \sqrt[5]{a^2}$.
Ответ: $\sqrt[5]{a^2}$