Номер 101, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(\sqrt{5}-6)^4}$ используется свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ для любого действительного числа $a$.

В данном случае $n=2$, и мы имеем корень 4-й степени из выражения в 4-й степени. Применяя указанное свойство, получаем:

$\sqrt[4]{(\sqrt{5}-6)^4} = |\sqrt{5}-6|$.

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $\sqrt{5}-6$. Сравним $\sqrt{5}$ и 6. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$, поэтому $2 < \sqrt{5} < 3$. Очевидно, что $\sqrt{5}$ значительно меньше 6. Следовательно, разность $\sqrt{5}-6$ является отрицательным числом.

По определению абсолютной величины (модуля), $|x| = -x$, если $x < 0$. Таким образом:

$|\sqrt{5}-6| = -(\sqrt{5}-6) = 6 - \sqrt{5}$.

Ответ: $6 - \sqrt{5}$.

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{(4-\sqrt{3})^3}$ используется свойство корня нечетной степени: $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$ для любого действительного числа $a$.

Здесь степень корня и степень подкоренного выражения равны 3, что является нечетным числом. Поэтому мы можем просто убрать корень и степень:

$\sqrt[3]{(4-\sqrt{3})^3} = 4-\sqrt{3}$.

Ответ: $4-\sqrt{3}$.

Упростим выражение $\sqrt[6]{(7-5\sqrt{2})^6} + \sqrt[5]{(3-5\sqrt{2})^5}$, разобрав каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $\sqrt[6]{(7-5\sqrt{2})^6}$.

Степень корня 6 является четным числом, поэтому применяем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

$\sqrt[6]{(7-5\sqrt{2})^6} = |7-5\sqrt{2}|$.

Определим знак выражения $7-5\sqrt{2}$. Сравним квадраты чисел 7 и $5\sqrt{2}$:

$7^2 = 49$.

$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

Поскольку $49 < 50$, то $7 < 5\sqrt{2}$. Следовательно, выражение $7-5\sqrt{2}$ отрицательно.

Раскрываем модуль: $|7-5\sqrt{2}| = -(7-5\sqrt{2}) = 5\sqrt{2}-7$.

Второе слагаемое: $\sqrt[5]{(3-5\sqrt{2})^5}$.

Степень корня 5 является нечетным числом, поэтому применяем свойство $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$.

$\sqrt[5]{(3-5\sqrt{2})^5} = 3-5\sqrt{2}$.

Теперь сложим упрощенные слагаемые:

$(5\sqrt{2}-7) + (3-5\sqrt{2}) = 5\sqrt{2}-7+3-5\sqrt{2}$.

Сгруппируем подобные члены: $(5\sqrt{2}-5\sqrt{2}) + (-7+3) = 0 - 4 = -4$.

Ответ: -4.