Номер 104, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{8}{\sqrt[3]{2}}$;

2) $\frac{18}{\sqrt[4]{27}}$;

3) $\frac{64}{\sqrt[5]{16}}$;

4) $\frac{a^5}{\sqrt[7]{a^5}}$

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{8}{\sqrt[3]{2}} $, нужно домножить числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полным кубом. Знаменатель содержит $ \sqrt[3]{2^1} $. Чтобы получить под корнем $ 2^3 $, нужно домножить на $ \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} $.
Выполним умножение:
$ \frac{8}{\sqrt[3]{2}} = \frac{8 \cdot \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{8\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2 \cdot 4}} = \frac{8\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{8\sqrt[3]{4}}{2} $.
Теперь сократим полученную дробь:
$ \frac{8\sqrt[3]{4}}{2} = 4\sqrt[3]{4} $.
Ответ: $ 4\sqrt[3]{4} $.

2) Исходная дробь $ \frac{18}{\sqrt[4]{27}} $. Сначала представим подкоренное выражение в виде степени: $ 27 = 3^3 $. Дробь примет вид: $ \frac{18}{\sqrt[4]{3^3}} $.
Чтобы знаменатель стал рациональным числом, показатель степени под корнем должен стать равным степени корня (то есть 4). Для этого домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{3^{4-3}} = \sqrt[4]{3} $.
Выполним умножение:
$ \frac{18}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{18 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{18\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{18\sqrt[4]{3}}{3} $.
Теперь сократим дробь:
$ \frac{18\sqrt[4]{3}}{3} = 6\sqrt[4]{3} $.
Ответ: $ 6\sqrt[4]{3} $.

3) Исходная дробь $ \frac{64}{\sqrt[5]{16}} $. Представим число $ 16 $ как степень двойки: $ 16 = 2^4 $. Дробь принимает вид $ \frac{64}{\sqrt[5]{2^4}} $.
Для того чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{2^{5-4}} = \sqrt[5]{2} $.
Выполним умножение:
$ \frac{64}{\sqrt[5]{2^4}} = \frac{64 \cdot \sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^4} \cdot \sqrt[5]{2}} = \frac{64\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{64\sqrt[5]{2}}{2} $.
Сократим полученную дробь:
$ \frac{64\sqrt[5]{2}}{2} = 32\sqrt[5]{2} $.
Ответ: $ 32\sqrt[5]{2} $.

4) Исходная дробь $ \frac{a^5}{\sqrt[7]{a^5}} $ (при условии $ a \neq 0 $).
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, необходимо домножить числитель и знаменатель на $ \sqrt[7]{a^{7-5}} = \sqrt[7]{a^2} $.
Выполним умножение:
$ \frac{a^5}{\sqrt[7]{a^5}} = \frac{a^5 \cdot \sqrt[7]{a^2}}{\sqrt[7]{a^5} \cdot \sqrt[7]{a^2}} = \frac{a^5\sqrt[7]{a^2}}{\sqrt[7]{a^7}} = \frac{a^5\sqrt[7]{a^2}}{a} $.
Сократим дробь, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{a^5\sqrt[7]{a^2}}{a} = a^{5-1}\sqrt[7]{a^2} = a^4\sqrt[7]{a^2} $.
Ответ: $ a^4\sqrt[7]{a^2} $.