Номер 110, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) $7^{\frac{1}{3}}$;

2) $5^{\frac{3}{7}}$;

3) $2^{-\frac{1}{5}}$;

4) $11^{-\frac{2}{9}}$;

5) $(m-n)^{2.5}$;

6) $(2x+3y^2)^{-\frac{5}{2}}$.

Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется формула: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$, $m$ - целое число, $n$ - натуральное число. Если показатель степени отрицательный, используется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) Дано выражение $7^{\frac{1}{3}}$.

В этом случае основание $a=7$, числитель показателя $m=1$, а знаменатель $n=3$.

Применяя формулу, получаем: $7^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{7^1} = \sqrt[3]{7}$.

Ответ: $\sqrt[3]{7}$.

2) Дано выражение $5^{\frac{3}{7}}$.

Здесь основание $a=5$, числитель показателя $m=3$, знаменатель $n=7$.

По формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ получаем: $5^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{5^3}$.

Ответ: $\sqrt[7]{5^3}$.

3) Дано выражение $2^{-\frac{1}{5}}$.

Сначала преобразуем степень с отрицательным показателем: $2^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}}$.

Теперь представим знаменатель в виде корня. Для $2^{\frac{1}{5}}$ основание $a=2$, числитель $m=1$, знаменатель $n=5$.

Получаем: $2^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{2^1} = \sqrt[5]{2}$.

Следовательно, исходное выражение равно $\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$.

4) Дано выражение $11^{-\frac{2}{9}}$.

Преобразуем степень с отрицательным показателем: $11^{-\frac{2}{9}} = \frac{1}{11^{\frac{2}{9}}}$.

Представим знаменатель $11^{\frac{2}{9}}$ в виде корня. Здесь $a=11$, $m=2$, $n=9$.

Получаем: $11^{\frac{2}{9}} = \sqrt[9]{11^2}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{\sqrt[9]{11^2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[9]{11^2}}$.

5) Дано выражение $(m-n)^{2,5}$.

Сначала представим десятичный показатель $2,5$ в виде обыкновенной дроби: $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

Выражение принимает вид $(m-n)^{\frac{5}{2}}$.

Здесь основание $a=(m-n)$, числитель показателя $m=5$, знаменатель $n=2$.

Применяя формулу, получаем: $(m-n)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(m-n)^5} = \sqrt{(m-n)^5}$. (Показатель корня 2 принято не писать).

Ответ: $\sqrt{(m-n)^5}$.

6) Дано выражение $(2x+3y^2)^{-2\frac{1}{2}}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$.

Выражение принимает вид $(2x+3y^2)^{-\frac{5}{2}}$.

Из-за отрицательного показателя преобразуем выражение: $(2x+3y^2)^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{(2x+3y^2)^{\frac{5}{2}}}$.

Теперь представим знаменатель в виде корня. Основание $a=(2x+3y^2)$, числитель $m=5$, знаменатель $n=2$.

Получаем: $(2x+3y^2)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(2x+3y^2)^5} = \sqrt{(2x+3y^2)^5}$.

Следовательно, исходное выражение равно $\frac{1}{\sqrt{(2x+3y^2)^5}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{(2x+3y^2)^5}}$.