Номер 113, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{5}{8}};$

2) $y = x^{-1,2};$

3) $y = (x - 2)^{3,4};$

4) $y = \left(\frac{x+7}{x-4}\right)^{2,1};$

5) $y = (5 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{7}}.$

1) Дана функция $y = x^{\frac{5}{8}}$. Это степенная функция с рациональным показателем $a = \frac{5}{8}$. Поскольку знаменатель показателя степени (8) является четным числом, а показатель степени - положительным, основание степени должно быть неотрицательным. Таким образом, область определения функции задается неравенством $x \ge 0$.
Ответ: $[0; +\infty)$.

2) Дана функция $y = x^{-1,2}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-1,2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}$. Таким образом, функция имеет вид $y = x^{-\frac{6}{5}}$. Это степенная функция с рациональным показателем $a = -\frac{6}{5}$. Знаменатель показателя степени (5) является нечетным числом, поэтому основание $x$ может быть любым действительным числом. Однако, так как показатель степени отрицательный, основание не может быть равно нулю, чтобы избежать деления на ноль ($y = \frac{1}{x^{6/5}}$). Таким образом, область определения функции задается условием $x \neq 0$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) Дана функция $y = (x-2)^{3,4}$. Преобразуем показатель степени: $3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$. Функция имеет вид $y = (x-2)^{\frac{17}{5}}$. Это степенная функция, где основанием является выражение $(x-2)$, а показатель $a = \frac{17}{5}$ - положительное рациональное число. Знаменатель показателя степени (5) является нечетным числом. Это означает, что функция определена для любого действительного значения основания $(x-2)$. Выражение $x-2$ определено для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции - все действительные числа.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

4) Дана функция $y = \left(\frac{x+7}{x-4}\right)^{2,1}$. Преобразуем показатель степени: $2,1 = \frac{21}{10}$. Функция имеет вид $y = \left(\frac{x+7}{x-4}\right)^{\frac{21}{10}}$. Показатель степени $a = \frac{21}{10}$ - положительное рациональное число. Знаменатель показателя (10) является четным числом, поэтому основание степени должно быть неотрицательным: $\frac{x+7}{x-4} \ge 0$. Кроме того, знаменатель дроби в основании не может быть равен нулю: $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. Решим неравенство $\frac{x+7}{x-4} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x+7=0 \implies x=-7$. Нули знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$. Нанесем точки на числовую прямую. Точка $-7$ включается, а точка $4$ исключается.

Проверяем знаки на интервалах: $(-\infty; -7]$, $(-7; 4)$, $[4; +\infty)$.

• При $x > 4$ (например $x=5$): $\frac{5+7}{5-4} > 0$.
• При $-7 < x < 4$ (например $x=0$): $\frac{0+7}{0-4} < 0$.
• При $x < -7$ (например $x=-8$): $\frac{-8+7}{-8-4} > 0$.

Нам нужны интервалы со знаком "+", а также точка $x=-7$.
Ответ: $(-\infty; -7] \cup (4; +\infty)$.

5) Дана функция $y = (5-4x-x^2)^{-\frac{1}{7}}$. Показатель степени $a = -\frac{1}{7}$ является отрицательным рациональным числом. Знаменатель показателя (7) - нечетное число, что означало бы, что основание может быть любым. Однако, так как показатель отрицательный, основание степени не может быть равно нулю: $5-4x-x^2 \neq 0$. Найдем значения $x$, которые необходимо исключить, решив уравнение $5-4x-x^2 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-5$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$. Эти два значения $x$ должны быть исключены из области определения.
Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-5; 1) \cup (1; +\infty)$.