Номер 116, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Упростите выражение:

1) $a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 2) - (a^{\frac{1}{4}} + 2)^2$;

2) $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) - (3x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(2x^{\frac{1}{3}} - 3y^{\frac{1}{3}})$;

3) $(m^{\frac{1}{20}} - n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{20}} + n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{10}} + n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})$;

4) $(b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}})(b - b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}} + c) - b^{\frac{5}{6}}(b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{6}})$.

1) Раскроем скобки в выражении $a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 2) - (a^{\frac{1}{4}} + 2)^2$.
Первый член: $a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 2) = a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}} - 2a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} - 2a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}}$.
Второй член является квадратом суммы: $(a^{\frac{1}{4}} + 2)^2 = (a^{\frac{1}{4}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^2 = a^{\frac{2}{4}} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4 = a^{\frac{1}{2}} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4$.
Теперь вычтем второе из первого:
$(a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}}) - (a^{\frac{1}{2}} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4) = a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{2}} - 4a^{\frac{1}{4}} - 4$.
Приведем подобные слагаемые: $(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}) + (-2a^{\frac{1}{4}} - 4a^{\frac{1}{4}}) - 4 = -6a^{\frac{1}{4}} - 4$.
Ответ: $-6a^{\frac{1}{4}} - 4$.

2) Рассмотрим выражение $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) - (3x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(2x^{\frac{1}{3}} - 3y^{\frac{1}{3}})$.
Первая часть выражения — это формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) = (x^{\frac{1}{3}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}$.
Вторую часть раскроем, перемножив скобки:
$(3x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(2x^{\frac{1}{3}} - 3y^{\frac{1}{3}}) = 3x^{\frac{1}{3}} \cdot 2x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{3}} \cdot 3y^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}} \cdot 2x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}} \cdot 3y^{\frac{1}{3}} = 6x^{\frac{2}{3}} - 9x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - 6y^{\frac{2}{3}} = 6x^{\frac{2}{3}} - 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - 6y^{\frac{2}{3}}$.
Теперь вычтем вторую часть из первой:
$(x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}) - (6x^{\frac{2}{3}} - 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - 6y^{\frac{2}{3}}) = x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} - 6x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 6y^{\frac{2}{3}}$.
Приведем подобные слагаемые: $(1-6)x^{\frac{2}{3}} + (-1+6)y^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = -5x^{\frac{2}{3}} + 5y^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $5y^{\frac{2}{3}} - 5x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$.

3) Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ последовательно.
Исходное выражение: $(m^{\frac{1}{20}} - n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{20}} + n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{10}} + n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})$.
Шаг 1: $(m^{\frac{1}{20}} - n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{20}} + n^{\frac{1}{20}}) = (m^{\frac{1}{20}})^2 - (n^{\frac{1}{20}})^2 = m^{\frac{2}{20}} - n^{\frac{2}{20}} = m^{\frac{1}{10}} - n^{\frac{1}{10}}$.
Шаг 2: Подставляем результат в выражение: $(m^{\frac{1}{10}} - n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{10}} + n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})$. Снова применяем формулу разности квадратов: $(m^{\frac{1}{10}} - n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{10}} + n^{\frac{1}{10}}) = (m^{\frac{1}{10}})^2 - (n^{\frac{1}{10}})^2 = m^{\frac{2}{10}} - n^{\frac{2}{10}} = m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}}$.
Шаг 3: Подставляем результат в выражение: $(m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}})(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})$. Последнее применение формулы: $(m^{\frac{1}{5}})^2 - (n^{\frac{1}{5}})^2 = m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}$.
Ответ: $m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}$.

4) Рассмотрим выражение $(b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}})(b - b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}} + c) - b^{\frac{5}{6}}(b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{6}})$.
Первая часть выражения $(b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}})(b - b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}} + c)$ является формулой суммы кубов $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$, где $x=b^{\frac{1}{2}}$ и $y=c^{\frac{1}{2}}$.
Тогда $(b^{\frac{1}{2}})^2=b$, $(c^{\frac{1}{2}})^2=c$, и $xy = b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}}$. Формула подходит.
Применяем ее: $(b^{\frac{1}{2}})^3 + (c^{\frac{1}{2}})^3 = b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}$.
Теперь упростим вторую часть: $- b^{\frac{5}{6}}(b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{6}})$. Раскроем скобки:
$- b^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{1}{6}} = -b^{\frac{5}{6} + \frac{2}{3}} - b^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} = -b^{\frac{5}{6} + \frac{4}{6}} - b^{\frac{6}{6}} = -b^{\frac{9}{6}} - b^1 = -b^{\frac{3}{2}} - b$.
Теперь объединим обе части:
$(b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}) + (-b^{\frac{3}{2}} - b) = b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} - b$.
Сокращаем подобные члены: $c^{\frac{3}{2}} - b$.
Ответ: $c^{\frac{3}{2}} - b$.