Номер 123, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Дано уравнение: $ \sqrt[8]{3x - 1} = -1 $
По определению арифметического корня четной степени, его значение не может быть отрицательным. Так как в правой части уравнения стоит $-1$, то уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: нет решений.

Дано уравнение: $ \sqrt[7]{3x - 1} = -1 $
Корень нечетной степени может быть отрицательным. Для решения возведем обе части уравнения в 7-ю степень:
$ (\sqrt[7]{3x - 1})^7 = (-1)^7 $
$ 3x - 1 = -1 $
$ 3x = 0 $
$ x = 0 $
Проверка: $ \sqrt[7]{3 \cdot 0 - 1} = \sqrt[7]{-1} = -1 $. Равенство верно.
Ответ: $0$.

Дано уравнение: $ \sqrt[6]{3x - 1} = \sqrt[6]{9 - 2x} $
Так как корни имеют четную степень, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} 3x - 1 \ge 0 \\ 9 - 2x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge 1 \\ 9 \ge 2x \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{3} \\ x \le 4.5 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ x \in [\frac{1}{3}; 4.5] $.
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень:
$ 3x - 1 = 9 - 2x $
$ 3x + 2x = 9 + 1 $
$ 5x = 10 $
$ x = 2 $
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: $ 2 \in [\frac{1}{3}; 4.5] $. Корень подходит.
Ответ: $2$.

Дано уравнение: $ \sqrt{3x - 1} = \sqrt{4x + 1} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:
$ \begin{cases} 3x - 1 \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge 1 \\ 4x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{3} \\ x \ge -0.25 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \ge \frac{1}{3} $.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ 3x - 1 = 4x + 1 $
$ -x = 2 $
$ x = -2 $
Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ: $ -2 \ge \frac{1}{3} $. Это неравенство ложно, следовательно, корень является посторонним.
Ответ: нет решений.

Дано уравнение: $ \sqrt[8]{3x - 1} = \sqrt[8]{x^2 + 8x - 7} $
Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} 3x - 1 = x^2 + 8x - 7 \\ 3x - 1 \ge 0 \end{cases} $
(Условие $ x^2 + 8x - 7 \ge 0 $ выполняется автоматически, так как $ x^2 + 8x - 7 = 3x - 1 $).
Решим уравнение:
$ x^2 + 8x - 3x - 7 + 1 = 0 $
$ x^2 + 5x - 6 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -6 $.
Проверим найденные корни по условию $ 3x - 1 \ge 0 $:
Для $ x_1 = 1 $: $ 3(1) - 1 = 2 \ge 0 $. Корень подходит.
Для $ x_2 = -6 $: $ 3(-6) - 1 = -19 \ge 0 $. Неравенство ложно, корень посторонний.
Ответ: $1$.

Дано уравнение: $ \sqrt{3x - 1} = 1 - 3x $
Уравнение вида $ \sqrt{f(x)} = g(x) $ равносильно системе:
$ \begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $
В нашем случае:
$ \begin{cases} 3x - 1 = (1 - 3x)^2 \\ 1 - 3x \ge 0 \end{cases} $
Решим сначала неравенство:
$ 1 - 3x \ge 0 \implies 1 \ge 3x \implies x \le \frac{1}{3} $
Теперь решим уравнение:
$ 3x - 1 = 1 - 6x + 9x^2 $
$ 9x^2 - 6x - 3x + 1 + 1 = 0 $
$ 9x^2 - 9x + 2 = 0 $
Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 $.
$ x_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} $
$ x_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $
Проверим корни на соответствие условию $ x \le \frac{1}{3} $:
$ x_1 = \frac{1}{3} $: $ \frac{1}{3} \le \frac{1}{3} $. Условие выполняется.
$ x_2 = \frac{2}{3} $: $ \frac{2}{3} \le \frac{1}{3} $. Условие не выполняется, это посторонний корень.
Ответ: $\frac{1}{3}$.