Номер 129, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Решите уравнение

$\sqrt{x-4+4\sqrt{x-8}} - \sqrt{x-4-4\sqrt{x-8}} = 2.$

Исходное уравнение:$\sqrt{x - 4 + 4\sqrt{x-8}} - \sqrt{x - 4 - 4\sqrt{x-8}} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными.
1) $x - 8 \ge 0 \implies x \ge 8$.
2) $x - 4 + 4\sqrt{x-8} \ge 0$.
3) $x - 4 - 4\sqrt{x-8} \ge 0$.

Преобразуем подкоренные выражения, выделив полные квадраты. Для этого представим $x-4$ как $(x-8)+4$.
Первое подкоренное выражение:
$x - 4 + 4\sqrt{x-8} = (x-8) + 4\sqrt{x-8} + 4 = (\sqrt{x-8})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-8} + 2^2 = (\sqrt{x-8} + 2)^2$.
Второе подкоренное выражение:
$x - 4 - 4\sqrt{x-8} = (x-8) - 4\sqrt{x-8} + 4 = (\sqrt{x-8})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x-8} + 2^2 = (\sqrt{x-8} - 2)^2$.

Так как оба подкоренных выражения являются полными квадратами, они всегда неотрицательны. Таким образом, ОДЗ определяется только первым условием: $x \ge 8$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x-8} + 2)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-8} - 2)^2} = 2$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|\sqrt{x-8} + 2| - |\sqrt{x-8} - 2| = 2$.

Раскроем модули.
Так как $\sqrt{x-8} \ge 0$ (согласно ОДЗ), то выражение $\sqrt{x-8} + 2$ всегда положительно. Следовательно, $|\sqrt{x-8} + 2| = \sqrt{x-8} + 2$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{x-8} + 2) - |\sqrt{x-8} - 2| = 2$.

Для раскрытия второго модуля рассмотрим два случая.
Случай 1: $\sqrt{x-8} - 2 \ge 0$.
Это условие выполняется при $\sqrt{x-8} \ge 2$, то есть $x-8 \ge 4$, что означает $x \ge 12$.
В этом случае $|\sqrt{x-8} - 2| = \sqrt{x-8} - 2$.
Уравнение становится:
$(\sqrt{x-8} + 2) - (\sqrt{x-8} - 2) = 2$
$\sqrt{x-8} + 2 - \sqrt{x-8} + 2 = 2$
$4 = 2$.
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $\sqrt{x-8} - 2 < 0$.
Это условие выполняется при $\sqrt{x-8} < 2$, то есть $x-8 < 4$, что означает $x < 12$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 8$), этот случай рассматривается на интервале $8 \le x < 12$.
В этом случае $|\sqrt{x-8} - 2| = -(\sqrt{x-8} - 2) = 2 - \sqrt{x-8}$.
Уравнение становится:
$(\sqrt{x-8} + 2) - (2 - \sqrt{x-8}) = 2$
$\sqrt{x-8} + 2 - 2 + \sqrt{x-8} = 2$
$2\sqrt{x-8} = 2$
$\sqrt{x-8} = 1$.
Возводим обе части в квадрат:
$x-8 = 1$
$x = 9$.

Найденное значение $x=9$ удовлетворяет условию $8 \le x < 12$. Проверим его подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{9 - 4 + 4\sqrt{9-8}} - \sqrt{9 - 4 - 4\sqrt{9-8}} = \sqrt{5 + 4\sqrt{1}} - \sqrt{5 - 4\sqrt{1}} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.
$2 = 2$.
Равенство верное, значит, $x=9$ является решением уравнения.

Ответ: $x=9$.