Номер 124, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+7} = 5-x$;

2) $2+\sqrt{4+2x-x^2} = x$.

1) $\sqrt{x+7} = 5-x$

Для решения данного иррационального уравнения определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения, как значение арифметического квадратного корня, также должна быть неотрицательной.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases}$

Решая ее, получаем:

$\begin{cases} x \ge -7 \\ x \le 5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x \in [-7, 5]$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:

$(\sqrt{x+7})^2 = (5-x)^2$

$x+7 = 25 - 10x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 10x - x + 25 - 7 = 0$

$x^2 - 11x + 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 11, а их произведение равно 18. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-7, 5]$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $-7 \le 2 \le 5$.

Корень $x_2 = 9$ не удовлетворяет условию, так как $9 > 5$. Следовательно, $x=9$ является посторонним корнем.

Проверка подстановкой в исходное уравнение подтверждает это:

Для $x = 2$: $\sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$; $5-2 = 3$. $3=3$ (верно).

Для $x = 9$: $\sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$; $5-9 = -4$. $4 \neq -4$ (неверно).

Ответ: 2

2) $2 + \sqrt{4+2x-x^2} = x$

Для начала уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{4+2x-x^2} = x-2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подрадикальное выражение и правая часть уравнения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} 4+2x-x^2 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $4+2x-x^2 \ge 0$. Умножим на -1 и изменим знак неравенства: $x^2-2x-4 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-2x-4=0$ с помощью дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.

Парабола $y=x^2-2x-4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2-2x-4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5}]$.

Решим второе неравенство системы: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Найдем пересечение полученных множеств: $[1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5}]$ и $[2, +\infty)$. Так как $1+\sqrt{5} \approx 3.24$, то пересечением является отрезок $[2, 1+\sqrt{5}]$. Это и есть ОДЗ.

Возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{4+2x-x^2} = x-2$:

$4+2x-x^2 = (x-2)^2$

$4+2x-x^2 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$2x^2 - 6x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x-3) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($x \in [2, 1+\sqrt{5}]$).

Корень $x_1=0$ не принадлежит ОДЗ, так как $0 < 2$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2=3$ принадлежит ОДЗ, так как $2 \le 3 \le 1+\sqrt{5}$ (неравенство $3 \le 1+\sqrt{5}$ эквивалентно $2 \le \sqrt{5}$, что верно, так как $4 \le 5$).

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

Для $x=3$: $2+\sqrt{4+2(3)-3^2} = 2+\sqrt{4+6-9} = 2+\sqrt{1} = 2+1=3$. Правая часть $x=3$. $3=3$ (верно).

Ответ: 3