Номер 128, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 2\sqrt{x^2 - 24} = 39;$

2) $x^2 + 2x + \sqrt{x^2 + 2x + 8} = 12;$

3) $\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1;$

4) $x\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[3]{x} = 4;$

5) $3x^2 - 6x + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0.$

1) $x^2 - 2\sqrt{x^2 - 24} = 39$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 24 \ge 0$, что означает $x^2 \ge 24$. Отсюда $x \in (-\infty, -2\sqrt{6}] \cup [2\sqrt{6}, \infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x^2 - 24}$. Так как $y$ — это арифметический квадратный корень, то $y \ge 0$.

Из замены следует, что $y^2 = x^2 - 24$, откуда $x^2 = y^2 + 24$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(y^2 + 24) - 2y = 39$

Перенесем все члены в одну сторону и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 2y + 24 - 39 = 0$

$y^2 - 2y - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$. Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Остается $y_1 = 5$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 24} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 - 24 = 25$

$x^2 = 49$

Отсюда $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $7^2 = 49 > 24$ и $(-7)^2 = 49 > 24$.

Ответ: $-7; 7$.

2) $x^2 + 2x + \sqrt{x^2 + 2x + 8} = 12$

ОДЗ: $x^2 + 2x + 8 \ge 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28 < 0$. Так как старший коэффициент положителен ($1 > 0$), трехчлен $x^2 + 2x + 8$ всегда положителен при любых значениях $x$. Таким образом, ОДЗ — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{x^2 + 2x + 8}$. По определению корня, $y \ge 0$.

Тогда $y^2 = x^2 + 2x + 8$, откуда $x^2 + 2x = y^2 - 8$.

Подставим в исходное уравнение:

$(y^2 - 8) + y = 12$

Решим уравнение относительно $y$:

$y^2 + y - 20 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1 = 4$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt{x^2 + 2x + 8} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 + 2x + 8 = 16$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $-4; 2$.

3) $\sqrt{\frac{2x}{x+1}} - 2\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = 1$

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны быть равны нулю. Это приводит к условию $\frac{2x}{x+1} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{2x}{x+1}}$. Заметим, что $\sqrt{\frac{x+1}{2x}} = \frac{1}{y}$. Так как $x$ не может быть равен нулю, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид:

$y - 2 \cdot \frac{1}{y} = 1$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):

$y^2 - 2 = y$

$y^2 - y - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Условию $y > 0$ удовлетворяет только $y_1 = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{2x}{x+1}} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$\frac{2x}{x+1} = 4$

$2x = 4(x+1)$

$2x = 4x + 4$

$-2x = 4$

$x = -2$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. $-2 \in (-\infty, -1)$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $-2$.

4) $x\sqrt[3]{x} - 3\sqrt[3]{x^2} = 4$

ОДЗ: кубические корни определены для любых действительных чисел, поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $x\sqrt[3]{x} = x^1 \cdot x^{1/3} = x^{4/3} = (x^{2/3})^2$, а $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.

Уравнение принимает вид:

$(x^{2/3})^2 - 3x^{2/3} - 4 = 0$

Введем замену. Пусть $y = x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y = \sqrt[3]{x^2} \ge 0$.

Подставим замену в уравнение:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1 = 4$.

Выполним обратную замену:

$x^{2/3} = 4$

Это то же самое, что и $\sqrt[3]{x^2} = 4$. Возведем обе части в куб: $x^2 = 4^3 = 64$.

Отсюда $x = \pm \sqrt{64}$, то есть $x = \pm 8$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $-8; 8$.

5) $3x^2 - 6x + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0$

ОДЗ: $x^2 - 2x + 4 \ge 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 2x + 4$ всегда положительно. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем левую часть уравнения: $3(x^2 - 2x) + 2 - \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 0$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{x^2 - 2x + 4}$. Тогда $y \ge 0$.

Из замены следует, что $y^2 = x^2 - 2x + 4$, откуда $x^2 - 2x = y^2 - 4$.

Подставим в преобразованное уравнение:

$3(y^2 - 4) + 2 - y = 0$

$3y^2 - 12 + 2 - y = 0$

$3y^2 - y - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ через дискриминант:

$D_y = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 11}{6}$

$y_1 = \frac{1+11}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{1-11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только корень $y_1 = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 2x + 4 = 4$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $0; 2$.