Номер 131, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Решите уравнение:

1) $\sqrt{-x^2 + 4x - 2} = x - 2;$

2) $\sqrt{12 - 9x - 2x^2} = 3x - 2;$

3) $\sqrt{3x^2 - 5x + 6} = x - 3;$

4) $\sqrt{x + 2} = x - 1.$

1) $\sqrt{-x^2 + 4x - 2} = x - 2$

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае система выглядит так:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ -x^2 + 4x - 2 = (x-2)^2 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы, чтобы найти область допустимых значений:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Теперь решим второе уравнение системы. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$-x^2 + 4x - 2 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 8x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 2$, следовательно, это является решением уравнения.

Ответ: $3$

2) $\sqrt{12 - 9x - 2x^2} = 3x - 2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ 12 - 9x - 2x^2 = (3x - 2)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$

Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$12 - 9x - 2x^2 = 9x^2 - 12x + 4$

$11x^2 - 3x - 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-8) = 9 + 352 = 361 = 19^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 19}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 19}{2 \cdot 11} = \frac{-16}{22} = -\frac{8}{11}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge \frac{2}{3}$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > \frac{2}{3}$.

Корень $x_2 = -\frac{8}{11}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{8}{11} < \frac{2}{3}$. Это посторонний корень.

Ответ: $1$

3) $\sqrt{3x^2 - 5x + 6} = x - 3$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 3x^2 - 5x + 6 = (x - 3)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем условие:

$x \ge 3$

Решим второе уравнение:

$3x^2 - 5x + 6 = x^2 - 6x + 9$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$.

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию, так как $1 < 3$.

Корень $x_2 = -\frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{3}{2} < 3$.

Так как ни один из найденных корней не удовлетворяет условию, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней

4) $\sqrt{x + 2} = x - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x + 2 = (x - 1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Решим уравнение:

$x + 2 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 3x - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 1$.

Оценим значение $\sqrt{13}$. Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{13} < 4$.

Для корня $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$: $x_1 > \frac{3 + 3}{2} = 3$. Так как $3 > 1$, этот корень является решением.

Для корня $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$: $x_2 < \frac{3 - 3}{2} = 0$. Так как $0 < 1$, этот корень является посторонним.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$