Номер 132, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Решите уравнение:

1) $2\sqrt{x-3} - \sqrt{x+2} = 1;$

2) $\sqrt{x+8} - \sqrt{x-4} = 2;$

3) $\sqrt{x+8} + \sqrt{5-x} = 5;$

4) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 4.$

1) $2\sqrt{x-3} - \sqrt{x+2} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge -2 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от него возведением в квадрат:
$2\sqrt{x-3} = 1 + \sqrt{x+2}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(2\sqrt{x-3})^2 = (1 + \sqrt{x+2})^2$
$4(x-3) = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+2} + (\sqrt{x+2})^2$
$4x - 12 = 1 + 2\sqrt{x+2} + x + 2$
$4x - 12 = x + 3 + 2\sqrt{x+2}$
Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:
$3x - 15 = 2\sqrt{x+2}$
Прежде чем снова возводить в квадрат, заметим, что правая часть $2\sqrt{x+2}$ неотрицательна, следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной:
$3x - 15 \ge 0 \implies 3x \ge 15 \implies x \ge 5$.
Это условие является более строгим, чем ОДЗ, поэтому будем учитывать его. Теперь возведем обе части в квадрат:
$(3x - 15)^2 = (2\sqrt{x+2})^2$
$9x^2 - 90x + 225 = 4(x+2)$
$9x^2 - 90x + 225 = 4x + 8$
$9x^2 - 94x + 217 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-94)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 217 = 8836 - 7812 = 1024 = 32^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{94 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{126}{18} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{94 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}$
Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 5$:
$x_1 = 7$ удовлетворяет условию, так как $7 \ge 5$.
$x_2 = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9}$ не удовлетворяет условию, так как $3\frac{4}{9} < 5$.
Выполним проверку для $x=7$ в исходном уравнении:
$2\sqrt{7-3} - \sqrt{7+2} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
$1 = 1$. Корень найден верно.
Ответ: 7

2) $\sqrt{x+8} - \sqrt{x-4} = 2$

ОДЗ: $\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8 \\ x \ge 4 \end{cases} \implies x \ge 4$.
Уединим один из корней:
$\sqrt{x+8} = 2 + \sqrt{x-4}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+8})^2 = (2 + \sqrt{x-4})^2$
$x+8 = 4 + 4\sqrt{x-4} + (x-4)$
$x+8 = x + 4\sqrt{x-4}$
$8 = 4\sqrt{x-4}$
$2 = \sqrt{x-4}$
Снова возведем в квадрат:
$2^2 = (\sqrt{x-4})^2$
$4 = x-4$
$x = 8$
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge 4$).
Проверка: $\sqrt{8+8} - \sqrt{8-4} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.
$2 = 2$. Верно.
Ответ: 8

3) $\sqrt{x+8} + \sqrt{5-x} = 5$

ОДЗ: $\begin{cases} x+8 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -8 \\ x \le 5 \end{cases} \implies -8 \le x \le 5$.
Уединим один из корней:
$\sqrt{x+8} = 5 - \sqrt{5-x}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+8})^2 = (5 - \sqrt{5-x})^2$
$x+8 = 25 - 10\sqrt{5-x} + (5-x)$
$x+8 = 30 - x - 10\sqrt{5-x}$
Уединим оставшийся корень:
$10\sqrt{5-x} = 30 - x - x - 8$
$10\sqrt{5-x} = 22 - 2x$
$5\sqrt{5-x} = 11 - x$
Левая часть неотрицательна, значит $11-x \ge 0$, то есть $x \le 11$. Это условие не сужает ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат:
$(5\sqrt{5-x})^2 = (11-x)^2$
$25(5-x) = 121 - 22x + x^2$
$125 - 25x = 121 - 22x + x^2$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($-8 \le x \le 5$).
Проверка для $x=1$:
$\sqrt{1+8} + \sqrt{5-1} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$.
$5=5$. Верно.
Проверка для $x=-4$:
$\sqrt{-4+8} + \sqrt{5-(-4)} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.
$5=5$. Верно.
Ответ: -4; 1

4) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 4$

ОДЗ: $\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -0.5 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \ge 3$.
Уединим один из корней:
$\sqrt{2x+1} = 4 - \sqrt{x-3}$
Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $4 - \sqrt{x-3} \ge 0 \implies 4 \ge \sqrt{x-3} \implies 16 \ge x-3 \implies x \le 19$.
Таким образом, решение должно лежать в интервале $3 \le x \le 19$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x+1})^2 = (4 - \sqrt{x-3})^2$
$2x+1 = 16 - 8\sqrt{x-3} + (x-3)$
$2x+1 = 13 + x - 8\sqrt{x-3}$
Уединим оставшийся корень:
$8\sqrt{x-3} = 13 + x - 2x - 1$
$8\sqrt{x-3} = 12 - x$
Левая часть неотрицательна, значит $12-x \ge 0$, то есть $x \le 12$. С учетом предыдущих ограничений, решение должно лежать в интервале $3 \le x \le 12$.
Возведем обе части в квадрат:
$(8\sqrt{x-3})^2 = (12-x)^2$
$64(x-3) = 144 - 24x + x^2$
$64x - 192 = 144 - 24x + x^2$
$x^2 - 88x + 336 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-88)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 336 = 7744 - 1344 = 6400 = 80^2$
$x_1 = \frac{88 + 80}{2} = \frac{168}{2} = 84$
$x_2 = \frac{88 - 80}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Проверим корни на соответствие условию $3 \le x \le 12$:
$x_1 = 84$ не удовлетворяет условию ($84 > 12$).
$x_2 = 4$ удовлетворяет условию ($3 \le 4 \le 12$).
Проверка для $x=4$:
$\sqrt{2(4)+1} + \sqrt{4-3} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3 + 1 = 4$.
$4=4$. Верно.
Ответ: 4